活动经验在中小学数学教学中的应用

吴 宏

（1.华中师范大学教育学院，湖北 武汉 430079；

2.喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006）

2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》课程目标中，提出了“数学活动经验”。2011年《义务教育数学课程标准》中，“数学基本活动经验”独立于数学知识，成为数学课程培养目标的“四基”之一。数学活动经验为教师基于学校课程目标、结合实际进行教学创新、培养学生的数学素养提供了崭新的视角。“经验是以静态与动态两种状态存在的。”[1]除了从经验事物本身、从目标角度考察数学活动经验之外，还需要从经验的过程角度思考数学活动经验的应用。数学教学如何利用活动经验？如何帮助学生在经验形成和条理化过程中学习数学？基于数学活动经验的内涵分析，其应用价值体现在教学设计、课程资源开发和教学评价等方面。

一、数学活动经验

（一）内涵及其性质

数学活动经验是在参与数学主题的相关活动中，经由观察、感知、体验和思考，由感性上升为理性的条理化和结构化过程。在主动因素和被动因素的介入中，借助知识间的相似之处和因果关系，形成一系列的联结，体现了活动的过程本质，起到了联结学生“数学现实”和获得数学经验的桥梁纽带作用。它具备主体间性、差异性、不完备性和连续性：体现在活动造成对象的变化以及自身所发生变化的主体间性；学生所处的社会、文化、语言和认知等背景不同，决定了数学活动经验存在个性或差异性；处于不同阶段的数学活动经验具备一定的不稳定性或不完备性；数学活动经验的发展具备连续性，其形成过程可以为数学学习提供活动机会，目的在于联系未来和超越已有的活动经验，指向数学经验目标的达成和网络结构的不断完善。进一步明确数学活动经验的内涵，需分析数学活动经验与相近表述的区别与联系。

（二）概念的甄别

首先，数学活动经验不等价于数学经验。数学经验是从哲学角度审视数学，体现为数学研究的价值取向和数学家思维的经验图式。[2]数学活动经验是从教学的角度出发，强调活动经验在数学教育中的重要性。静态存在的数学活动经验是学生应达成的经验目标，包括实践的经验、解题的经验和思维的经验[3]；动态存在的数学活动经验是在已有知识经验基础上，经验不断丰富和条理化的过程。其次，数学活动经验与数学学习经验含义相近。活动实现了学习过程与对象的统一，数学教育引入的活动概念包括了书本学习。数学活动经验体现了学习的活动本质，是数学学习经验内涵的拓展与深化。再次，数学活动经验与数学活动体验既有重合，又各有侧重。二者的共同点在于，参与数学活动是建立在数学的真切感受和深刻理解基础上，对数学产生的情感或生成的意义。活动体验是对数学在内心中的地位、意义、价值、对象与自我同一性的把握和确认，侧重于对数学的态度、感受和认识。数学活动经验是以自我的需要、认知结构和已有活动经验等为基础，经过感受、理解和建构，生成对数学独特的领悟和意义，侧重于经验的条理和结构化过程特性。基于数学活动经验的过程特性，在经验丰富和发展的过程中，不同阶段呈现不同的层次和类别。

（三）层次和类别

数学活动经验处于数学学习的起点和终点时，分别称作原始活动经验和正式活动经验。原始活动经验是学生在探索他们熟悉的环境、自主选择的行动中获得的经验，具备粗糙、宏观、未加提炼和受学生控制的特点。正式活动经验是由成人为学生选择、给予行为指示的活动中获得的经验，具备精炼和推演的特点。二者的区别是原始活动经验是偶然反省的结果；正式活动经验是继续的和受调节的反省结果。从原始活动经验发展到正式活动经验，经历非正式活动经验，它们是学生选择的活动和行为，并在某种程度上受到他人干预的经验，或者通过观察他人的行为获得关于自我可能性的认识。经过原始活动经验的调动与启发，并在数学学习中反求诸己，达成数学深度理解和自我意义，才能实现正式活动经验，其过程体现为经同化或顺应后的经验条理化或网络化（如图1所示）。

图1

依此模型，“前一结构化活动经验”在“下一结构化活动经验”形成前，将自动介入循环，成为原始活动经验，作为正式活动经验形成的基础。以活动经验对于后面经验形成有效迁移价值作为标准，可将数学原始活动经验和非正式活动经验分为正面和负面活动经验。正面活动经验能够促进学习的正迁移，有利于促进新经验的形成；负面活动经验在学习中起到负迁移作用，阻碍新经验的形成。无论是正面还是负面活动经验，都能为新学习提供更多的可能。利用数学活动经验有助于教学设计的优化、课程资源的开发和过程评价的实施。

二、数学活动经验是优化教学设计的路径

数学学习并非简单的记忆和复制的浅层次学习，而是对知识的深度理解和灵活应用，以能力为导向，建构数学意义，养成数学素养的学习。数学活动经验有助于为学生提供意义建构的活动机会，是数学学习由符号走向逻辑和意义统一目标的重要路径。

从数学活动经验视角思考教学方法的选择。教学方法是为达到教学目的，在教学原则指导下，运用教学手段而进行的一整套师生相互作用的活动。教学过程中，学生是学习的主体，学生的数学活动经验是教学方法选择中应关照的现实。第一，了解学生面对当前情境的情感经验（emotional experiences），调动参与数学活动的积极性，形成良好的学习体验。活动不是表演，学生也不是“被经历”活动，活动应体现活动经验的主体参与本质。第二，运用多样化的教学预评估技术和有目的的对话和活动，确立学生学习的起点。了解学生的原始活动经验和非正式活动经验，即学生已有的经验水平和关于新学习内容的经验现状，利用学生现有的经验联结新的经验。新旧经验的联结需要横向地联系其他学科，纵向地审视数学自身的结构，也就是做到拓展视野和前瞻后顾。第三，适当选择和设计数学活动情境，引导学生经历“自然而然”的思维过程。关照学生的生命体验和自我发展需要，结合“最近发展区”选择和组织适当的教学资源和方法，将活动教学、教师指导下探究教学和直接指导教学的方法，运用于单元或教学的不同阶段，彼此交织形成方法的网络。部分数学应用类问题不只用于巩固环节，还用来创设真实有效的活动情境。第四，充分考虑学生间个体经验差异，满足不同学生的需求。第五，建立合作交流的课堂规范，重视学生共同经验，又要放大学生的个体经验，为学生建构反思性经验创造平等互助的氛围。

比如，《奇、偶数的概念和性质》的教学设计。首先，关注数学活动经验的联结和相互作用。利用学生已有的数概念，在观察和操作经验的基础上，形成归纳和演绎思维活动经验；经历从概念的非正式语言表达发展到正式语言表达的阶段，完成概念的抽象和概括;再由概念形成的经验自然过渡到性质的学习，作为发现数的奇偶性质的经验基础。其次，创设疑难的问题情境，以“问题串”引导学生参与“再创造”的活动。借助操作实物，观察活动确定疑难的所在。经过反思，学生提出一系列有利于意义建构的思维一致性问题。结合特例提出解决疑难的各种假设，深入理解证明的必要性和意义。再次，充分关照学生的数学活动经验的提升。模式发现的活动过程中，学生体验到归纳思维活动经验的两次提升：第一次归纳是概念的形成，在经验不断完善和结构化过程中，学生体会到概念及其产生的意义；第二次归纳是由直观到抽象的性质证明。

教学工具的选择与运用是基于既定教学方法，促成学生尝试活动与承受结果联结、事物及其关系间的联结为目标：促进经验由感性知觉上升到理性观念，帮助学生从经验中学习形成并积累一系列的活动经验。选择教学工具既要考虑尝试活动和形成理性观念阶段的不同需求，又要考虑活动经验发展过渡节点的需求。比如，采用信息交互技术资源（Information and Communication Technology，ICT）。运用互联网虚拟教具、网页版本经历、手持设备和现代科学计算器，着力于学生身体器官的直觉感知的试误经验与反省经验的联结，在经验的形成过程中深入理解重要数学概念，实现多种意义的建构。同时，ICT还为学生形成新教学媒介下的经验提供活动机会。

三、数学活动经验是课程资源开发的源泉

数学学习是经验丰富和条理化过程中的意义建构，有赖于满足每一个学生需要的、生本课程资源的开发。开发课程资源可以从课程与教学理论专家、数学家关于经验的论述以及活动经验的连续性中获得启发。

（一）泰勒以学习经验作为课程选择原则的启发

泰勒以学习者获得的学习经验作为课程内容选择。参照泰勒提出的五个原则[4]，开发数学课程资源时，做出如下思考：第一，结合数学教学目标，确立形成活动经验的内容，选择课程资源为学生的活动提供机会。数学教学的核心目标是培养“数学素养”，内涵是在多种情境中，进行数学地规划、构想、阐释和应用数学的能力，包括在现实情境中读懂数学的能力；应用数学在现实问题中做决断的能力。就第一种能力而言，课程选择与学生日常生活背景相关的问题，采用现实问题的相关数据，给学生提供讨论的机会，引导学生阐释现实生活中与数学相关的信息。为培养第二种能力，课程为学生提供日常生活中应用数学做出判断和决策的机会，经历应用数学做出抉择的过程，参与数学交流和推理活动。这类课程资源开发中，教师需要具备数学问题意识，能将课程中已有纯数学的问题与现实世界联系，改造或编制成有数学概念支撑的、引发学生探讨并做出判断的问题。第二，为使学生在数学活动中获得满足感，课程需要满足学生的好奇心。问题的呈现应该是阶梯式的，可以激发认知冲突，以满足不同层次学生的思维水平需要；问题能体现数学形式和思想方法的美妙，满足学生对美好事物的精神追求。第三，资源开发应该适合学生目前的成就水平、心理倾向和课程目标等方面的条件。比如，多媒体技术用于课程资源的开发，可以在数学抽象推理活动前，为学生提供直观感知和实验的经验。同时要考虑学生计算机操作和软件基础水平，还不能偏离数学课程教学目标的预设。第四，教师课程资源开发有多种创造的可能性，资源的选择和组织应考虑学生的内外部因素，明确活动对于理解数学概念和经验推广的利弊，既满足师生双方的兴趣，又能达到同样的目标。比如，关于“负负相乘为正”的算理，有研究者运用类比、教具和模式发现三种方案开发课程资源[5]，虽然出发点、侧重点不同且各有利弊，但都可以帮助学生从经验中理解“两个负数相乘”符号确定的算理。第五，同一课程资源可以形成多种活动经验，实现多方面的发展目标，充分发掘和体现课程资源的价值，将内外部条件交互作用的考察，作为经验选择的参考。

（二）波利亚“怎样解题”思维经验模式的启发

问题解决是数学学习中的重要活动，学生在尝试问题解决过程中，特别是问题解决的进度不够顺利时，希望有可资借鉴的模式。波利亚的问题解决模式（以下简称“解题模式”）能有效地帮助处于不同程度的学生引导和监控自我问题解决的过程。波利亚的解题模式由四部分组成：明确问题；制订计划；实施计划；回顾与反思。[6]借鉴波利亚的解题模式，开发课程资源的步骤为：第一，借助解题模式的流程，搭建教学“脚手架”（scaffolding）。结合解题模式每个流程，提出引发学生思考的系列问题，选择和组织相关教学资源。第二，以思想方法积淀与拓展为目的，概括总结和开拓视野。结合解题模式的“回顾与反思”环节，在寻找问题联系的基础上，实现问题的拓展和延伸。第三，在问题与课程相关性，以及恰当“脚手架”基础上，建构新的问题。如，关于“A—水平数学证明教学”课程资源的开发[7]：（1）按照波利亚解题模式的四个环节，就数学证明个例设计系列的“脚手架”问题。这些问题，引导学生参与有趣和意义建构的活动中，减少问题解决过程中的挫败感，不断强调活动的主要部分，确保学生参与可控的问题解决的活动，积极构建活动经验。（2）在“回顾与反思”环节，引导学生就某一数学证明题，寻找类似问题，由浅入深进行类型与方法的拓展。（3）运用“一般化”“特殊化”和“模式化”方法构造有教育意义和价值的新问题。以上课程体现了数学证明的内在联系，能够调动学生参与逻辑清晰的讨论，为学生发展活动经验提供机会，促进学生深度理解证明的意义。

（三）基于数学活动经验的连续性开发课程资源

数学活动经验的发展是连续的，表现以过去经验作为基础，发展现实经验，在指向未来经验的同时，又以某种方式改变未来经验。数学活动经验连续发展表现在：第一，针对同一数学主题，不同经验类型间的密切联系和连续互动。构建能体现不同活动经验类型间连续互动关系的图式，以此为框架开发课程资源。比如，已构建的数学抽象概念理解活动经验图式[8]和数学建模活动经验图式[9]等，体现了相应教学领域活动经验的连续互动，都可以作为课程资源开发的参考框架。第二，为了增进对某一数学知识点的理解，表现在活动经验螺旋上升发展的连续性。比如，对“乘法”概念的认识，就不仅局限于“几个相同加数的和”的含义。如果“乘法”概念的理解局限于“几个相同的加数的和”，就会产生错误经验，影响“乘法”概念结构和推理经验的发展。开发数学的多元表征对经验的连续发展有积极作用。多元表征是同一数学对象表征的多样化，包括直观表征（动作、具体实物、模型、图形、表格）和符号表征，“教师针对所学内容，发掘或者创设一些不同类型的直观表征，帮助学生形成数学概念的知觉理解”[10]，再结合符号表征可以促进学生的概念性理解。

四、数学活动经验是教学评价的指标

（一）数学活动经验作为评价指标

评价是一个确定实际发生的行为变化程度的过程，需要得到每一个主要教育目标所隐含的每一种行为的证据。以数学活动经验作为教学评价的指标，为教育目标期望的行为提供了有效证据。不仅找到表现这种行为的情境，而且鼓励或唤起这种情境的行为，对于体现评价的过程性和实现评价为改进教学都有着积极的意义。首先，数学活动经验参与课程评价是教师教学的依据。教师的“教”是以促进学生的数学理解和活动经验的形成和发展为目的；教师在教学中“教导”的角色，是为学生提供以发展活动经验为目标的多样化活动机会；教师教学的有效性是以引发学生的学习动机、关注学生经验发展的个性差异、达成数学活动经验自我意义的建构作为评价标准。其次，数学活动经验作为教学评价的指标，表现对教学过程的关注，包括基于学生原始活动经验的预评估、涉及学生活动经验水平提升的课堂教学过程以及分阶段、多方面活动经验水平的评价、分析与改进环节。数学活动经验作为数学教学的评价指标，其特点表现：一是共同创造知识；二是达成知识自我意义的实现；三是运用数学语言合作学习；四是经历交流推理、问题解决的思维过程。基于数学活动经验的评价，观察学生参与、交往和对象活动中的行为表现，了解学生的学习背景以及达成目标的成就，形成对他们的需要和能力的完整看法。数学活动经验是学生主体能动活动的结果，通过评价学生的活动经验、学习参与度和反思拓展学习，体现学生学习的“主体”地位。

表1 学生在数学活动中可获得的经验

（二）新加坡数学活动经验的表现性评价实例

参与形成数学活动经验的相应活动，为评价学习者提供可观察的行为表现，也为多种评价主体提供可操作的评价指标。新加坡数学教学大纲列出数学教学的三个原则和数学学习的三个步骤。教学三个原则：第一，教是为了学，学是为了理解，理解是为了推理、应用和最终的问题解决；第二，教学是学生已有知识基础上的建构，重视学生的兴趣和经验，引导他们参与反省性学习活动；第三，教学应联系现实世界，运用信息交互技术（ICT），关注培养21世纪所需的能力。学习的三个步骤：第一，准备。学习准备决定学习的成败。教师关注学生前经验，激励语境（motivating contexts）和学习环境，帮助学生做好学习预备。第二，参与。这是学习的主要环节。教师综合运用活动学习、教师指导下的探究和直接指导的教学方法，引导学生积极参与新概念和技能的学习。第三，精通。教师在这个环节帮助学生巩固和拓展学习，包括激励实践、反思回顾和扩展学习。以数学活动经验作为新的视角（参见表1）[11]，为评价教师教学和学生学习提供了可观察和可操作的方法。

借助数学活动经验，以学生在这些活动中所具有的行为表现作为评价的依据；密切联系评价与课程内容，通过评价程序使数学课程目标真正成为教学的“向导”。活动经验为数学学习构建了透明的学习路径，帮助学生明确：自己学到了什么，目前的学习处于什么经验水平；帮助教师思考：应为学生提供哪些活动机会，以形成新的活动经验，实现活动经验水平的不断提升。

[1]马复.论数学活动经验[J].数学教育学报，1996，5（4）：22－25，54.

[2]Davis P J,Hersh R,Marchisotto E A.数学经验（学习版）[M].王前，译.大连：大连理工大学出版社，2013：256,263.

[3]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报,2012，21（1）：14-16.

[4]泰勒.课程与教学的基本原理[M].施良方，译.北京：人民教育出版社，1994（1）：51-53.

[5][7][11]Pee Choon Toh,Tin Lam Toh,Berinderjeet Kaur.Learning Experiences to Promote Mathematics Learning Yearbook 2014[M].Singapore：Nanyang Technological University,2014：53-56，232-242，3.

[6]G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007：4.

[8]White P，Mitchelmore M C.Teaching for abstraction：A model[J].Mathematical Thinking and Learning,2010：12.

[9]Zbiek R M,Conner A.Beyond Motivation：Exploring Mathematical Modeling as a Context For Deepening Students'Understandings of Curricular Mathematics[J].Educational Studies in Mathematics，2006：63-70.

[10]李静.从中美小学生数学学习的多元表征看数学教学[J].比较教育研究，2013，（8）：83-87.