处理球的“内切”“外接”问题

崔丽丽

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但学生们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊.解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解.

一、棱锥的内切、外接球问题

例1正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

分析运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.

解如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a.由图形的對称性知，点O也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为R.

正四面体的表面积S表=4×34a2=3a2.

正四面体的体积VA-BCD=13×34a2×AE

=312a2AB2-BE2

=312a2a2-33a2=212a3.

∵13S表·r=VA-BCD，∴r=3VA-BCDS表=3×212a33a2=612a.

在Rt△BEO中，BO2=BE2+EO2，即R2=33a2+r2，得R=64a，得R=3r.

点评由正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h4（h为正四面体的高），且外接球的半径为3h4，从而可以通过截面图中Rt△OBE建立棱长与半径之？涞墓亍糐P〗系.

二、球与棱柱的组合体问题

1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心.设正方体的棱长为a，球半径为R.

如图3所示，截面图为正方形EFGH的内切圆，得R=a2.

2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4所示，作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R=22a.

3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5所示，以对角面AA1作截面图，得圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得R=A1O=32a.

例2在球面上有四个点P，A，B，C.如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是.

解由已知可得PA，PB，PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连接过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD=3a，

∴S球表面积=4π·32a2=3π·a2.

练习一棱长为2a的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱恰好接触但又不至于变形时的球的体积.（答案为V=34（2a）3=62a3）

4.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题：

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.

例3已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比.

分析先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系.

解如图6所示，由题意得两球心O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R2=36a，正三棱柱的高为h=2R2=33a，由Rt△A1D1O中，得

R21=33a2+R22=33a2+36a2=512a2，

∴R1=512a，

∴S1∶S2=R21∶R22=5∶1，V1∶V2=55∶1.

练习正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值.（答案为42R2）

点评求解“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径.endprint