柯西不等式的证明及几何解释

摘 要：本文以柯西不等式为讨论对象，从其定义、证明、几何解释等几个方面进行阐述，展现柯西不等式灵活应用知识时转化思想的关键作用，文章从柯西不等式的定义入手，从不同角度、以不同方法对其进行证明，并且重点分析柯西不等式等号成立的条件.运用数形结合的思想方法引入对其的几何解释，从幾何角度提供证明不等式的新思路。

关键词：柯西不等式 几何解释 数形结合

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0034-02

法国大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析时，从“流数”问题中得到柯西不等式。经考证相应历史资料，我们发现该不等式本应当被称为Cauchy-Schwarz不等式，后来这两位数学家在积分学中从不同角度相互独立的推广该不等式，使得该不等式快速发展拓广，其应用的广度和深度不断加大，应用价值几乎达到完美的地步。

随着新课程改革的进行，柯西不等式已经被选入高中数学选修4-5的课本，并且在高考和竞赛试题中也经常出现，可见在中学数学中柯西不等式地位逐渐被提升起来，和均值不等式一起发挥重要作。经考证相关资料，发现柯西不等式作为材料在数学探究题中出现比较多，这对于学生探究思维的培养、数学思想方法的领会有很大的帮助，同时可以促进学生了解新知识并解决问题，体会学数学、用数学的过程，激发学习数学的兴趣和热情。因此，对于柯西不等式讨论显得十分必要。

1 柯西不等式的定义

柯西不等式的应用非常广泛，在大学数学分析、高等代数和概率论中均有其应用价值，灵活巧妙地应用该不等式，可以简化很多问题，使得问题的解决变得简单方便。

参考文献：

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作者简介：龚加安（1975-），男，陕西商州人，硕士，商洛职业技术学院副教授，研究方向：不确定性推理和数学教育教学。