由一道数学题引出的思考——初一全等三角形复习思考

黄 鸣

（江苏省常熟市实验中学，江苏苏州215500）

由一道数学题引出的思考
——初一全等三角形复习思考

黄 鸣

（江苏省常熟市实验中学，江苏苏州215500）

全等三角形的知识是初中几何的重点内容，是初中阶段几何推理的基础，也是训练学生思维逻辑性的开始，对培养学生书写数学推理过程养成步步有据，不凭空乱写有至关重要的作用。

全等三角形；复习

引 言

全等三角形的知识是初中几何的重点内容，是初中阶段几何推理的基础，也是训练学生思维逻辑性的开始，对培养学生书写数学推理过程养成步步有据，不凭空乱写有至关重要的作用。因此如何使全等三角形的复习课上得有意义，是我需要考虑的。我在复习全等三角形时，就选用了一个基本图形，例题和习题的配备都是围绕这个基本图形而展开的，这样就做到了一图多用，即出现了例1的多个变式，从而突出本节的重点：寻找证明三角形全等的思路，做到以不变应万变。

一、基本图形的运用

例1：如图锐角△ABC中，AD⊥ BC，BF⊥ AC。 若 BE=AC，求∠ABC度数。

例题分析：此题看似求角度，应该是个计算角度的问题。可实际上它是一个全等三角形的证明题，不能被它的表象所迷惑，应该通过证明全等三角形去解决这个问题。所以全等三角形不单单可以解决类似相等角相等线段的问题，也能解决有关特殊角度的问题。

解题思路：本题是通过证明△BED≌△ACD，再从全等三角形对应边相等得到AD=BD，因此△ABD是等腰直角三角形，从而解决∠ABC度数问题。

解题过程：

点评：本例题运用了全等三角形的证明方法，在学生解答中应注意书写描述的合理性。

二、例1的条件稍加改变，就可以形成变式1的题目

变式1：如图锐角△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC。若AC=6cm，AD=BD，求BE的长。（图形同上）

例题分析：这个题目看似求线段长度，应该是个计算线段长度的问题，可是实际上它是要求线段和已知线段关系的判断问题。从条件入手发现要求线段和已知线段可能是相等关系，从而转化为求证全等三角形的问题来解决。所以全等三角形有时还可以解决有关的线段长度问题。

解题思路：本题是通过证明△BED≌△ACD，再从全等三角形对应边相等得到BE=AC，再由等量代换得到BE的长度也为6cm，但这次全等的证明与例1有所不同。

解题过程：前面的解题过程和上面类似，然后：

点评：在做完例1后再思考变式1时，思路有了上题的模式可套，会容易一些，但在证明全等三角形的过程中，寻找判定条件时应区分与例1的判定方法有所不同。

在变式1的图形下再做细微的改变，又得到一道新的题目，如下：

变式2：如图△ABC中，AD⊥BC，若BE＝AC，DE＝DC，BE和AC垂直吗？请证明你的结论。（图形同上）

例题分析：从这道题目的已知条件出发，很容易可以判断出,需要证明全等三角形，得出角度的关系，再联系要求证的结论是垂直，已知条件中有垂直出现，那么可以用全等三角形对应角相等的性质去解决这个问题。

解题思路：本题是通过证明△BED≌△ACD，首先要抓住直角三角形证明有几种方法，证明全等后，再从全等三角形对应角相等得到∠EBD=∠EAF，再由三角形内角和得到∠BFC=90°或∠BFA=90°，再得到最后结论为垂直。

解题过程：证明过程略。

点评：本题是非常经典的一道例题，在很多参考书上都有，学生在初学求证过程中，不会整理思路。在求证垂直的解题中，大多数需要证明夹角为90°，那么怎样证角90°，除了计算一条思路外，还可以通过证明与已知的90°角相等这种方法，证明角度相等也可以用全等三角形去解决。

三、动态问题的变式

那么除了上述的变式之外，动态问题，也是近年来经常提到的问题，因此在这张图形上也可以把AC边和BD边上的两个点看作可以移动的动点，将上面的题目再稍加变化得到下题：

变 式 3： 在 △ ABC中，AB＝ AC， ∠ BAC＝ ∠ ACB＝60°，点D、E分别在BC、AC边上运动，且AE＝CD，AD、BE相交于点F。求∠BFD的度数。

例题分析：这道题目看似求角度的计算问题，实际上还是要通过全等三角形的证明，再通过全等三角形的性质去寻找要求的角和已知角之间存在的关系。

解题思路：本题通过证明△ABE≌△CAD，然后由全等三角形得到对应角∠ABE=∠CAD相等，再由三角形内角和得到∠ABE+∠AEB=120°，再通过等量代换得到∠CAD+∠AEB=120°，所以∠AFE=60°，因此∠BFD=∠AFE=60°。

解题过程：

点评：本题的求证对于刚学习全等三角形的学生来说，还是具有一定难度的，但是如果通过上面几题的练习，思维上也就能套上这样的思路去求解这类问题了。

结 语

上面举例的几个问题，对于初学全等三角形的学生来说，经常存在着各种问题，比如解题思路不会往全等去考虑，还有角度线段间的转化没有那么顺利，因此此类问题还是值得我们教师拿出来和学生一起研究讨论的。

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(S).北京:北京师范大学出版社,2012.

[2]万波.浅析初中数学教学中的全等三角形解题策略[J].数理化解题研究,2016,(35):12.

[3]李红雪.寻找条件,得出结论——引导型教学在初中数学三角形全等中的应用[J].数学学习与研究,2014,(20):10.

黄鸣，1979年生，女，江苏常熟人，现任江苏省常熟市实验中学数学教师，2009年获常熟市中小学教师解题基本功竞赛二等奖；2012年获常熟市初中教师把握学科能力竞赛三等奖。中学一级教师。