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活用分类思想,妙解函数试题

2018-01-08黄璐

数学教学通讯·高中版 2018年9期
关键词:分类讨论真题数形

黄璐

[摘  要] 高考真题对学生的学习备考有借鉴作用,透徹分析数学真题可以有效拓展解题思路,其中函数是高考的必考题型,解题时合理地选用思想方法可以起到事半功倍的效果,其中分类讨论是解决函数问题较为常用的方法,可有效降低解题难度,同时多种思想方法也可以结合使用,本文将结合高考真题详细讲解分类讨论在函数问题中的使用过程.

[关键词] 函数;分类讨论;数形;真题

函数是高考考查的重点知识,主要考查学生的综合能力,其中思想方法的选取是考查的重点,思想方法选取不当,会造成思维混乱,解题受阻,分析历年考题,合理选取思想方法是解答函数问题的关键.

真题呈现

(2017年全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.

该题目为高考常见的函数问题,在求解过程中通过构造函数,利用导函数来分析函数的性质,将函数的零点作为分类讨论的切入点,从而达到了快速准确求解的效果. 分类讨论是研究函数问题最为有效的思想方法,合理地选取分类标准是解决问题的关键.

考题衔接,深入探究

函数问题对学生的逻辑推理要求较高,解法也相对灵活,如不能合理地选择切入点则很容易造成错解、漏解,因此合理选取思想方法则显得尤为重要,上述考题中采用分类讨论思想很好地将问题简化,在历年考题中也有使用分类讨论思想解函数不等式的问题.

(2016年天津卷)已知函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.

(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;

解决上述问题的核心是定位a值的分界点,然后以此为依据进行分类讨论,最终通过比较端点函数值与极值的大小来解决问题,该思想方法简化了思路,实现分析的全面性、条理性,对于锻炼学生思维的严谨性具有极大帮助.

拓展研究,方法综合

分类讨论思想也可以与数形结合思想相配合来研究函数问题,合理利用图像可以确定讨论标准,找准讨论方向,为下一步的分类讨论打下基础.

(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.

解析:(1)略.

(2)绘制函数g(x)的图像,如图1,可知x>1时,g(x)<0;当x=1时,g(x)=0;当0<x<1时,g(x)>0,结合h(x)的定义,可分以下三种情况讨论:

当x>1时,h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,h(x)在(1,+∞)内无零点;

本题目难度较大,求解过程中充分利用了函数图像的特点,结合零点的几何意义进行分类讨论,从而降低了解题的难度,正是对图像的分析为分类讨论找到了切入点,是典型的数形结合与分类讨论配合使用的解法,该思路对于学生的解题有着启示作用.

总之,解决数学问题首先需要扎实的基础知识和基本技能,同时有效利用思想方法则可以辅助解题,分类讨论是求解函数问题行之有效的思想方法,合理利用则可以使思路清晰,过程流畅,保证求解的严谨性.另外思想方法并不是单一使用的过程,将数形结合与分类讨论配合使用,则可以使抽象问题具体化,准确定位分类标准,快速找到讨论的切入点,实现解题的高效性.

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