椭圆中“斜商”定值一类题的一个性质

张顺

【摘要】椭圆中定值问题一直以来深受高考命题人的青睐，因为在动点动线的变化之中，某些值竟然是不变的，“变”中存在“不變”体现了数学的美，体现了哲学上的“动”与“静”的辩证统一.一般的椭圆定值问题，基本上是设点或是设线，将所要求的量用所设的参数来表示，最后证明该量不受参数的影响，从而得到这个量为定值.但是代数解法相对计算烦琐，本文尝试从几何的角度出发，通过仿射变换，将椭圆仿射为圆来挖掘图形的本质特征.

【关键词】圆锥曲线;定值;仿射变换

一、问题提出

2018届扬州中学高三10月月考数学试卷出现了这样一道解析几何题：

如图1所示，已知椭圆C：x2/4+y2/3=1的右焦点F（1，0），左、右顶点分别为A，B，直线l过F点且与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方），直线直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由.

笔者通过仿射变换，将椭圆仿射为圆，再研究圆中的情形得到了更为一般和简洁的结论，而根据仿射变换的性质，这些结论在椭圆之中，同样是成立的，这就具有了一般性的意义.

二、改造问题

通过将椭圆仿射“还圆”，我们尝试解决这样一个问题：如图2所示，圆O是以原点为圆心半径为R的一个圆，圆O与x轴分别交于A，B两点，在圆O内的x轴上有一定点C，过点C作一直线分别交圆O为P，Q两点，连接线段AP，BQ，证明kAP∶kBQ为定值.

证明过点C作AP的垂线，垂足为M，如图3所示，则不难得到kAPkBQ=tan∠PACtan∠ABQ=tan∠PACtan∠APC=PMAM=BCAC，

再通过仿射变换的性质，可以立即得到在椭圆之中也存在这个性质，也就是kAPkBQ=BFAF.

三、问题再探

通过刚刚的解题体验，我们不得不再追问一下，如果A，B两点不再是椭圆的端点，而是其长轴上的任意两个定点是否还有以上的结论，于是我们便见到了如下的试题：图4如图4所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=k1x与椭圆E：x29+y24=1交于A，B两点（点A在第一象限），过点F的直线AF，BF分别交椭圆E于点C，D.直线CD交x轴于点G.设直线CD的斜率为k2，求证：k2k1为定值.

首先证明这样一个事实：上题中直线CD过一个定点，而且这个定点就是直线CD与x轴的交点G.

为了使问题稍显简单，还是先证明在圆中有这样的结论：如图5所示，圆O是以原点为圆心半径为R的一个圆，交x轴于点H，I.E，F为x轴上两个定点，过点E作直线与圆交于A，B两点，分别连接AF，BF并延长且与圆交于D，C两点，求证直线CD过定点.

为了证明上述结论，我们先介绍一下蝴蝶定理的推广定理：坎迪定理

如图6所示，过圆的弦AB上任意一点M引任意两条弦CD和EF，连接ED，CF交AB于P，Q，若AM=a，BM=b，PM=x，QM=y则有1a-1b=1x-1y，特别地，a=b时即蝴蝶定理[1].

利用坎迪定理，不难得到1HF-1IF=1EF-1GF，而题目中可以知道点HF，IF，EF均为定长，那么FG必然为定长，于是点G即为定点.不妨假设E，F，G三定点坐标分别为（e，0），（f，0）（g，0），根据坎迪定理可以得到1R+f-1R-f=1f-e-1g-f，进一步可以得到g=2R2f-e（R2+f2）R2+f2-2ef，这个结论与张培强老师在《几何画板助力椭圆中的蝴蝶翻飞》一文中得到的结论是一致的，不同是的是张老师采取的解析的做法，而本文则采用平面几何知识证明.另外张老师在文中得到了这样的结论：kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef.[2]

这个结论记忆起来很不方便，通过第一道例题我们类比归纳思想，大胆猜测kABkCD=FGEG，

FGEG=g-ff-e=2R2f-e（R2+g2）R2+f2-2ef-ff-e=R2-f2R2+f2-2ef=kABkCD.

有了以上的结论，再回顾第二个问题就不难看出k2k1=OFFG，由坎迪定理13-5-13+5=1GF-15算出GF=257，从而k2k1=OFFG=5257=72.

四、问题存疑

在解决第二个问题kABkCD=FGEG的过程中，先是利用了张培强老师的解析证法得到的一个结论kABkCD=R2-f2R2+f2-2ef，再说明FGEG=R2-f2R2+f2-2ef，从而得到结论，那么是否能用第一个问题几何的证明方法直接证明这个结论？笔者还没能得到好的几何证法！希望各位老师同行能够不惜赐教！

【参考文献】

[1]段惠民，饶庆生.坎迪定理在圆锥曲线上的推广[J].中学数学研究，2007（3）：15.

[2]张培强.几何画板助力椭圆中的蝴蝶翻飞[J].数学之友，2017（12）：80.