高中数学有效渗透数学思想与方法的途径探究

杨蓝

【摘要】数学思想与方法是数学知识的精髓，是解决一切数学问题的通法，对于学生分析和解决问题、创造性探索新知识具有重要的作用.本文在阐述高中数学常见的数学思想与方法的基础上，探寻了高中数学有效渗透数学思想与方法的途径.

【关键词】高中数学;数学思想与方法;渗透;途径

数学思想与方法是数学知识的精髓，是解决一切数学问题的通法，对于学生分析和解决问题、创造性探索新知识具有重要的作用，因此，在高中数学教学中，如何顺应时代需求，将数学思想与方法逐渐渗透到教材教学中，逐渐渗透到学生的脑海中去成为当前迫切要解决的问题.

一、高中数学常见的数学思想与方法

（一）分类讨论思想

当问题所呈现的对象不能进行统一研究时，就需要按照事件可能情况、字母取值范围、图形位置特征等标准对其分类，然后对每一分类进行研究，最后以最简、互斥、无漏不重复的原则综合各类情况进行解答.由于分类讨论题知识点覆盖较多，逻辑性和综合性较强，因此，成为高中常见的数学思想与方法，其思想渗透到高中数学的每一个章节之中.

（二）数形结合思想

为了使学生的抽象和形象思维相互作用，根据数与形之间的对应关系解决数学问题的思想就是数形结合思想.由于数形结合思想可以使问题直观呈现，所以，也成为高中常见的数学思想与方法.例如，在求解函数f（x）=x2+1+x2-4x+8的最小值时，如果按照代数方式进行求解时，则很难快速得出答案，如果利用数形结合思想，则可利用所给函数的特点，巧用两点间距离公式模型得出答案.

（三）函数与方程思想

函数与方程思想其实是由函数和方程两个思想组成，其中函数思想是结合初等函数的图像与性质，应用函数有关性质去分析、转化、解决实际问题的一种思想，而方程思想是从数量关系入手，通过利用方程有关定理性质，或解方程而解决所给问题的一种思想.由于高中许多数学题目中都含有多元参变量，常常需要根据题目要求采取变换“主元”的方法，并构造出相应的数学函数模型进行求解，因此，函数与方程思想也是高中数学教学的重点.

（四）转化与化归思想

转化与化归思想就是在处理问题时常常通过等价转化、空间图形问题转化为平面图形问题等方式，按照目标简化、直观、熟悉的原则将待解决的问题转化归纳为能够利用已学知识解决的问题.由于转化与化归思想能够渗透到解题过程的各个环节和数学教学内容的各个领域之中，因此，转化与化归思想也成为高中数学重要的思想与方法.

值得说明的是，高中数学思想与方法之间可以相互转化，并没有明确的界限，并且在解决有的问题时还需要综合运用多种数学思想与方法.

二、高中数学有效渗透数学思想与方法的途径

（一）整体把握教材，充分尊重学生思维特点，注重有机渗透

心理学研究表明，在高中阶段，相比其他思维，抽象思维更具有优势，而此时的抽象思维属于理论性思维，已经能够用理论分析综合材料，并初步建立了对立统一的思维，所以，在具体教学实践时，教师应注重高中学生的生理和心理特点，引导学生开展探究性、实践性活动，从而让学生从动手实践到抽象理论，从具体的实物到抽象思维，不断拉近理论和实践之间的距离，使分析思考问题更加全面.同时，要按照教材内容编排，善于找准教学的切入点，将新知识纳入学生已学旧知识体系之中，从而帮助学生建立稳固的知识体系.

以函数与方程思想为例，由于将该思想常常渗透在习题和例题之中，因此，笔者在课堂教学中有目的、有计划地进行渗透.

例1 已知方程lgx+x=3，则它的解所在的区间为（  ）.

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，+∞）

解析 该题如果采用代数方法解决，不仅费时，而且难度较大，但通过渗透函数与方程思想，可以将其转化为在同一坐标系中，求解函数y=lgx与函数y=3-x图像的焦点，显然，画出如图所示的图像后就可以直接将A、D排除，再在比较2与x0大小的基础上可以迅速得出本题答案.

（二）在形成、发展数学知识过程中渗透数学思想与方法

教师应将单纯的知识传授升级成为融能力、素质、知识于一体，指导学生以探索者的姿态自主探究该知识的原始过程和隐藏的思想与方法，充分揭示获取知识的过程，培养学生乐于探究、勤于动手的良好学习习惯.在日常具体教学实践中，特别要在结论推导、概念形成、方法思考、问题被发现、规律被揭示等过程注重渗透.

以讲授指数函数概念为例，由于定义与被定义兼具性质、判定的双重功能，因此，笔者设计了如下两个问题，解释指数概念产生的实际背景或来龙去脉：

一是引入高中学生已经熟悉的细胞分裂问题.即1个细胞1小时分裂3次，每次分裂成为2个细胞，要求学生思考如何用函数刻画这个细胞分裂过程.

二是引入学生周边非常熟悉的衣服漂洗问题.即如果将衣服污垢量视为1，则每次漂洗能洗去污垢的34，要求学生用函数刻画出污垢量与漂洗次数之间的关系.

然后，要求学生自主探究，得出如下函数关系式：

① y=2x（x∈N）;

② y=1-34x（x∈N）.

并从常量、变量的位置关系、取值范围等方面启发学生思考，总结归纳出指数概念，让学生掌握概念的本质属性，知道什么事物属于这个概念，什么事物不属于这个概念，最后要求学生根据所学知识，列举出几个指数函数解析式.

（三）在总结、归纳知识过程中概括數学思想方法

同一种数学思想方法常常蕴含在不同数学知识体系中，而同一内容可蕴含多种不同数学思想，因此，为了使数学思想内化成为学生自己的观点，教师应不断单元小结，有步骤地结合数学表层知识，将统领知识的数学思想与方法揭示提炼概括出来.在具体教学实践中，一是将数学对象共同具有的属性或关系抽取出来，揭示出数学思想的内容和规律.二是将个别性认识上升到一般性认识，将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去.

以讲授一元二次不等式解集为例，首先应用特殊到一般的数学思想，明晰出ax2+bx+c>0（a>0），y=ax2+bx+c（a>0），ax2+bx+c=0（a>0）三者之间的关系，总结归纳出求解一元二次不等式的步骤，即一化正、二算Δ、三求根、四写解集，并将总结后的规律推广到同类的全部对象上去.

（四）在引导学生进行自主反思中领悟数学思想方法

在教学中，教师应不断引导学生自主反思自己的思维活动，即问题是如何发现和解决的，有哪些易发生的错误，在解题中走过了哪些弯路，应用到了哪些数学思想和方法，能不能总结出经验和教训等.例如，在复习数学知識时，笔者设计了如下题目：

已知函数f（x）=13ax3+bx+x+3（a≠0）.

① a，b满足什么条件时，f（x）能够取得极值.

② 已知f（x）在（0，1]上单调递增且a>0，则求解b的取值范围.

解析 这是一道利用求导方法研究函数极值、单调性的题目，在学生单独解题结束后，笔者要求学生对解题过程和解题思想进行“回头看”，总结出解题过程中所用到的不等式间相互转化的化归思想、函数与方程、分类讨论等思想与方法，并总结出极值求解步骤和求解极值问题时应该注意的事项等.

三、结 语

综上所述，数学思想与方法是解决一切问题的通法，在具体教学实践中，教师应不断进行有意识的渗透和训练，将其逐渐渗透到学生的脑海中，渗透到教材教学中.并要求学生站在更高境界上理解和审视问题，对于解题过程和解题思想进行“回头看”，最大限度地领悟解题过程中所蕴含的数学思想与方法，只有这样才能不断实现理解数学知识质的飞越，才能达到灵活应用数学思想与方法解决数学中的问题.

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