曲线系过定点问题解法研究

摘 要：平面解析几何经常会碰到判定或证明平面曲线系过定点的问题。本文从含有一个或两个参数的曲线系来谈过定点问题的解法。

关键词：过定点；参数曲线系；几何

平面解析几何定值问题中，经常会碰到一类判定或证明平面曲线系过定点的问题。本文试从含有一个或两个参数的曲线系来谈过定点问题的解法。

一、 含有一个参数的曲线系

（一） 赋值法

若已知含参数方程为直线方程，我们可以取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点。例如：无论m取何实值，（3m+4）x+（2m-3）y=1所表示的直线恒过一定点，求定点坐标。令m=0，得4x-3y=1；m=1，得7x-y=1，求得交点坐标217，-317，即定点。此法具有普适性，但是需验证交点坐标也适合直线方程。

（二） 数形结合思想

若已知含参方程为曲线方程，我们可以将参数方程化为所学过的圆的方程或者圆锥曲线方程形式来解决问题。

例如：设函数f（x，y）=x2+4（m-2）+y2-8my+645=0，求定点坐标。

[x+2（m-2）]2+（y-4m）2=[25（m-25）]2

即m=25时得过定点（165，85）。

（三） 分离系数法

若已知方程是含有参数m的方程，我们可以把系数中的m分离出来，化为mF（x，y）+G（x，y）=0的形式，由F（x，y）=0且G（x，y）=0解出x和y的值，即得定點坐标。

二、 含有两个参数的曲线系

对于过定点的双参数曲线系的问题，若已知方程是含有参数m、n的方程，且可以化为mF（x，y）+nH（x，y）=G（x，y）的形式，那么仍可以利用上述分离系数方法解决，即F（x，y）= H（x，y）= G（x，y）=0。在学习中发现若已知方程是含有参数m，n的方程，化成mF（x，y）+nH（x，y）= G（x，y）形式，且m，n满足线性约束条件αm+βn=y，则借助直线与方程系数对应相等或成比例解法较快捷。

当曲线过定点A（x0，y0），则可得

mF（x0，y0）+nH（x0，y0）=G（x0，y0）

αm+βn=y

当曲线过A点时，关于m，n的直线方程应有无穷各个解，或两直线重合。

则：

F（x0，y0）α=H（x0，y0）β=G（x0，y0）y ①

解上述方程

①若无解，则曲线过不定点。

②若有一解，则曲线过一个定点。

③若有n解，则曲线过n个定点（n∈N*）

[注]：当α，β或y任意一个为0时，如y=0，αβ≠0

则，αm+βn=0，n=-αmβ，mF（x0，y0）-αmβH（x0，y0）=G（x0，y），故

mF（x0，y0）-αβH（x0，y0）=G（x0，y），

F（x0，y0）α=H（x0，y0）βG（x0，y0）=0

当α=β=y则认为①中公式可转化为下式：

F（x0，y0）=H（x0，y0）=G（x0，y0） ②

下面按我们通过几道例题来明确这种方法。

例1 若两参数m，n满足式子3m+5n=3，直线y=-mx+15n（n≠0），试问直线是否必过一点A（x0，y0），若过A点，请求出A点坐标。若不过，请说明理由。

解：直线转换得mx+ny=15

mx0+my0=15

3m+5n=3

根据上述方法，重合，得：

x03=y05=153

解得x0=15y0=25

直线必过A（15，25）

解题心得：此题原式稍加转化，即可成为上述方法中。

例2 若满足4km- 3kn = 144（k≠0），则直线mx-ny=3，过一定点B（x0，y0），求x0，y0的值。

解：4km-3kn=144

m3-n4=12k

根据上述方法，得

x013=y014=312k

解得x0=k12y0=k16

通过上述例题，我们了解到利用直线与方程系数对应或比例来解决这类过定点的双参数曲线系问题，简化了计算量，让我们在解题速度有一个的提升。

参考文献：

[1] 崔宝法.巧用分离参数法解曲线系过定点问题[J].数学教学通讯，2006.

[2] 李国民.用二次曲线系快速解决一类定点定值问题[J].数学通讯，2014（9）.

作者简介：蒋逸飞，湖北省武汉市，华中科技大学附属中学。endprint