高中数学函数学习中化归思想的运用

摘 要：高中数学是高中课程中学习任务较重、难度较大的一门学科。高中数学中的函数学习又是高中数学中的难点和重点。因此，作为一名高中生，掌握一些高中数学函数学习的方法，对提高数学成绩尤为重要。根据同学们在函数学习中的沟通和交流，均认为化归思想是学好高中数学函数知识的有效方法。本文将介绍化归思想的定义和特点，并采用习题案例分析化归思想在高中数学函数中的运用，以期对同学们掌握化归思想这一思维策略有所启发。

关键词：高中数学；函数；化归思想；应用分析

一、 前言

数学是很多其他学科的基础，通过学习数学不仅可以提升自己的逻辑分析能力，而且可以逐渐培养一些思维策略，这些思维策略对未来学习生涯甚至工作生涯都有着重要的作用和意义。高中数学作为数学学习的重要阶段，正是培养自身思维策略的关键时期。而对于笔者及同学而言，高中数学中函数作为学习的重点和难点，对我们的思维策略开发有重要意义。笔者将在本文中介绍化归思想的定义和特点，并引用案例探析高中数学函数学习中化归思想的运用。

二、 化归思想的定义与特点

化归，广义上是指通过分解、变形或者代换等方法，將问题由难化为易、由繁化为简、由复杂化为简单的过程，化归是转化与归结的简称。

从定义可以看出，化归是一种重要的解题思路，又是一种基本的思维策略，还是一种有效的数学逻辑思维方式。因此，所谓化归思想，是指在研究或解决一系列数学问题时采用某种方法将数学问题变换而转化为另一个问题，进而达到快速解题的一种方法。通常，运用化归思想往往是将较为复杂的问题进行变换而转化成较为简单的问题；将较难解答的问题进行变换而转化为较易求解的问题；将尚未知的问题进行变换而转化为已知的问题。总而言之，化归思想方法在解答数学题中运用广泛。

化归的主要特点是其具有灵活性和多样性。灵活性体现在运用化归思想解决问题时，通常不是直接解决原有题目，而是对要解决的题目进行一定的变形或者转化，直到把待解决的问题化归为某个或某些已解决的问题，或易解决的问题，该化归的过程可以灵活掌握，运用自己最熟悉或最简便的化归思路。多样性体现在运用化归思想解决问题时，只要遵循已知的、基础的、简单的知识将未知转化为已知的总体原则即可，要实现这个原则，我们可以采取很多方法，因此同一个题目可以有多样化的化归解题方法。

三、 高中数学函数学习中化归思想的运用

化归思想的基础功能是：将生疏化为熟悉，将复杂化为简单，将抽象化为直观，将含糊化为明朗。归根到底，化归的实质就是要善于将待解决的问题进行变换和转化。在高中数学函数中主要应用到的转化方法有：待定系数法、配方法、整体代入法、由抽象到具体等。笔者将结合高中数学函数习题案例探讨这些转化化归思想的运用。

（一） 化归——待定系数法的应用

已知，f（x）是关于x的一个五次多项式，若f（-2），f（-1），f（0），f（1）均为0，f（2）为24，f（3）为360，求f（4）的值。

解题分析：因为f（-2），f（-1），f（0），f（1）均为0，所以该多项式f（x）中一定有因式（x+2），（x+1），x和（x-1），这4个因式的乘积已经为四次多项式，因此我们可以将该多项式设为（x+2）×（x+1）×x×（x-1）×（ax+b），再运用待定系数法，求出a与b的值之后代入到原多项式中，便可得出f（4）的值为1800。

（二） 化归——配方法的应用

请求出抛物线：y=3x2-6x-3的顶点坐标。

解题分析：采用配方法可以将该抛物线y=3x2-6x-3转化为：y=3（x2-2x-1）=3（x2-2x+1-1-1）=3（x-1）2-6

由转化后的抛物线函数关系式，可以直观地看出其顶点的坐标应为（1，-6）。

（三） 化归——整体代入法的应用

已知，实数x和y满足方程式x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解题分析：运用整体代入法，先将y用表示为含有x的式子，再代入（x+y）。

具体步骤为：x2+3x+y-3=0可以转化为y=3-3x-x2，代入（x+y）可以得出（x+y）=3-2x-x2，再利用配方法可以得出（x+y）=-（x2+2x-3）=-[（x+1）2-4]=4-（x+1）2。

因为（x+1）2大于等于0，所以4-（x+1）2小于等于4。故（x+y）的最大值为4。

（四） 化归——由抽象到具体法的应用

有一个三组对棱分别相同的三棱锥，棱长分别为13、14和15，求该三棱锥的体积。

解题分析：采用由抽象到具体的方法，将三棱锥看作截去四角的长方体，题目便可转化为用函数方程求长方体的长宽高。再根据长方体的体积间接得出三棱锥的体积。

从这些例题解析中，可以看出化归思想在我们的高中数学函数学习中，几乎无处不在。因此，掌握正确的方法来应用化归思想的方法进行解题是我们每一名学生的使命，在应用化归思想解答数学问题时，应注意以下三点：

1. 要紧盯化归的目标，以确保化归实施的有效性和规范性

化归思想作为一种解题方法，其包括化归对象、化归目标及化归方法（途径）3个要素。实施化归思想方法要求我们根据数学题目选择出明确的对象、设计好解题目标、选择好转化方法。首先，设计出正确的解题目标是解决问题的关键，通常，设计化归的目标时，要以课本中的基础知识和基本方法为依据，并把待解决的问题化归为与课本知识或方法相一致的问题。其次，化归方法的选择决定了化归是否能够如期完成。同时我们还要考虑化归方法的可行性和有效性，确保合理使用化归思想方法。因此，在解题的过程中，我们必须始终紧盯化归目标，合理选择化归对象，正确运用化归方法。endprint

2. 应注意化归中转化的等价性，以保证运用正确的逻辑解题

化归可分为等价化归和非等价化归，在我们高中数学中的化归大多为等价化归。等价化归要求我们在对题目进行转化时，必须有充分的和必要的前因后果，以确保最终转化后的结果即是原题的结果。

3. 应根据题目设计出合理的转化方案，并注意转化的多样性

转化是化归思想的核心，并且在转化的过程中，往往可以采取多种转化的途径和方法达到同一目标。因此我们需要研究和设计出合理的、最简捷的转化方法，避免生搬硬套，造成解题过程繁难不堪。

四、 总结

化归思想在高中数学函数中的应用意义重大，为我们解答数学函数问题，提供了多元化的思维模式，通过针对不同类型的函数问题，联想适合的问题转化方式，将问题由难化易，由繁化简，由未知化为已知，整个过程中，同学们在解答数学函数问题的同时，也潜移默化地提高了思维的灵活性和多元性。这不仅对当下的高中学习大有益处，也为将来思维的拓展打下坚实的基础。

然而，在运用化归思想解答高中数学函数问题时，我们也要注意化归思想的用法，一方面，要确保紧盯解题目标，避免因偏题浪费解题时间或错用化归；另一方面，要保证化归过程中的等价转化，避免因转化错误，导致解题失败；同时，還要打开思维，寻找最简捷的化归转化途径，以缩减解题时间，简化解题过程。

总之，只有正确地应用化归思想，才能真正发挥化归思想在高中数学函数学习中的作用。

参考文献：

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作者简介：肖煜恒，湖北省襄阳市，湖北襄阳第四中学。endprint