含参数的绝对值不等式问题

摘 要：通过对近几年高考全国卷中绝对值不等式问题的研究，除了比較简单的求绝对值不等式的解集外，还常涉及含参数的绝对值不等式问题，为此我总结了该问题的三个命题方向，希望对同学们备战高考有所帮助。

关键词：高考；绝对值不等式；分离参数；数形结合

从2017年开始，高考全国卷数学的选做题改为二选一，分别是选修44的极坐标与参数方程和选修45的不等式选讲，并且文理同题。我今天来谈谈不等式选讲的这道选做题，从高考全国卷已考查过的题目来看，绝大多数涉及绝对值不等式，通常第（Ⅰ）问为求一个不含参数的绝对值不等式的解集，此问比较容易，只要分段去掉绝对值即可求解；第（Ⅱ）问多涉及含参数的绝对值不等式问题，本文就此总结出三个命题方向，供大家参考。

命题方向一：已知不等式的解集求参数的值或范围

例1 已知关于x的不等式|2x-a|<1，a∈Z的整数解有且只有一个为2，求a的值。

解析 由|2x-a|<1得a-12

∴1≤a-12<2

例2 已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|，a>1，若f（x）>4的解集为{x|x<0或x>4}，求a的值。

解析 思路一：∵a>1，∴f（x）=-2x+a+1，x<1a-1，1≤x≤a2x-a-1，x>a，∵f（x）>4的解集为{x|x<0或x>4}，并结合图象得-2×0+a+1=42×4-a-1=4，∴a=3。

思路二：∵f（x）>4的解集为{x|x<0或x>4}，

∴x=0和x=4是方程f（x）=4的解，

∴|0-1|+|0-a|=4|4-1|+|4-a|=4，解得a=3。

点评 对于涉及含参数的绝对值不等式的解集，如果不等式中只有一个绝对值，我们通常先求出该不等式的解集，再根据题设列方程（组）或不等式（组）来求解或求范围。可以利用以下结论：

|f（x）|>g（x）f（x）<-g（x）或f（x）>g（x），

|f（x）|

如果不等式中含有两个绝对值，我们可以考虑分段去掉绝对值来求解集，其中可能会涉及分类讨论，比如把例2题目中“a>1”这个条件去掉，操作起来就比较复杂；例2的思路二给我们提供另一种思路，就是由不等式的解集解读出方程的根，计算量就大大简化了。

命题方向二：通过恒成立或存在性问题求参数的范围

（一） 直接分离参数

例3 已知函数f（x）=|x+1|-a|x-1|，若不等式f（x）≤a|x+3|恒成立，求a的取值范围。

解析 由f（x）≤a|x+3|得，|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，即a≥|x+1||x-1|+|x+3|恒成立，

∵|x+1||x-1|+|x+3|≤|x+1||（x-1）+（x+3）|=|x+1||2x+2|=12，当且仅当（x-1）（x+3）≥0时等号成立，

∴a≥12，∴a的取值范围为12，+∞。

点评 对于恒成立或存在性问题，如果可以分离参数，问题就可以转化成最值问题。

若a>f（x）在x∈D恒成立，则a>f（x）max；若a

若存在x∈D使得a>f（x），则a>f（x）min；若存在x∈D使得a

（二） 先通过条件去掉绝对值，再分离参数

例4 已知函数f（x）=|x+2|，若不等式f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|的解集为M，且

M∩12，1≠，求a的取值范围。

解析 ∵M∩12，1≠，

∴f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|在x∈12，1有解，

即|2x+2|≤|2x-1|+|x+a|在x∈12，1有解，

∵当x∈12，1时，2x+2≤2x-1+|x+a|，

∴|x+a|≥3，∴x+a≤-3或x+a≥3，

∴存在x∈12，1，有a≤-x-3或a≥-x+3，

∴a<-12-3=-72或a>-1+3=2，

∴a的取值范围为-∞，-72∪（2，+∞）。

点评 如果题目中有给出x的取值范围，通常可以利用这个范围去掉一个或两个绝对值，然后分离参数，就能转化成上一种类型。

（三） 不易分离参数，需要用到数形结合思想

例5 已知函数f（x）=|x-3|+|4-x|，若不等式f（x）≤ax-1的解集非空，求a的取值范围.

解析 ∵f（x）=-2x+7，x<31，3≤x≤42x-7，x>4，y=ax-1表示过点（0，-1），斜率为a的直线，

如图所示，当且仅当a<-2或a≥12时，y=f（x）与y=ax-1的图象有交点，

∴不等式f（x）≤ax-1的解集非空时，a的取值范围为（-∞，-2）∪12，+∞。

例6 已知函数f（x）=|x+2|+|x-a|，a∈R，若不等式f（x）≥32x恒成立，求a的取值范围。

解析 ∵f（x）=|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|2+a|，当且仅当（x+2）（x-a）≤0时等号成立，∴当（x+2）（x-a）≤0时，f（x）min=|2+a|。

记g（x）=32x，g（x）表示过原点，斜率为32的直线，

∴如图所示，要使不等式f（x）≥32x恒成立，

只需f（-2）≥g（-2）f（a）≥g（a），即|-2-a|≥-3|a+2|≥32a，解得a的取值范围为（-∞，4]。

点评 对于不易分离参数的类型，我们通常需要用到数形结合思想，分别作出两个函数的图象，再利用图象的上下关系来列不等式求解。

命题方向三：涉及两个函数图象围成的图形

例7 （2015年新课标全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a>0，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。

解析 ∵f（x）=x-1-2a，x<-13x+1-2a，-1≤x≤a-x+1+2a，x>a，a>0，

f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13，0，

B（2a+1，0），C（a，a+1），

∴△ABC的面积为S=12（2a+1-2a-13）·（a+1）=23（a+1）2，

由23（a+1）2>6解得a>2，

∴a的取值范围为（2，+∞）。

例8 已知函数f（x）=|x|+|x-3|的图象与y=ax+5a能围成一个三角形，求a的取值范围。

解析 ∵f（x）=-2x+3，x<03，0≤x≤32x-3，x>3，直线y=ax+5a=a（x+5）恒过定点（-5，0），

如图所示，当直线过点A（3，3）时，直线的斜率k1=0-3-5-3=38，

当直线过点B（0，3）时，直线的斜率k2=0-3-5-0=35，∴a的取值范围为38，35。

点评 此类题目的解题思路是分别作出两个函数的图象，利用数形结合的思想，根据题设求解。

以上就是我对含参数的绝对值不等式问题的一些总结，希望对大家备战高考有所帮助。

作者简介：郭嘉祥，福建省漳州市，福建省漳州市第三中学。