刚体定点转动代数讲法的教学实践

任延宇 霍 雷 冯启春 唐圭新

(哈尔滨工业大学物理系，黑龙江 哈尔滨 150001)

刚体定点转动代数讲法的教学实践

任延宇 霍 雷 冯启春 唐圭新

(哈尔滨工业大学物理系，黑龙江 哈尔滨 150001)

代数是人们描述自然规律的一个极为重要的数学工具，但它自身的抽象性又使得初学者很难掌握这一数学工具。理论力学是物理系本科生的第一门理论课程，对运用数学工具处理物理问题的训练明显较普通物理加强。我们尝试在理论力学课的刚体力学一章采用代数讲法，从而使抽象的数学理论与具体的物理图像有了直接的对应，并为后续专业类课程学习打下了良好的基础。

理论力学；刚体定点转动；线性代数

代数无论在物理学研究还是在应用领域都是一个极为重要的数学工具。初学者由于缺乏实际应用方面的训练很难掌握这一数学工具。这很大程度上是由于线性代数通常在大一上学年学习，而大量运用代数知识的专业类课程一般都安排在大三下学年或者大四上学年。鉴于这样的情况，我们尝试在大二上学年理论力学课的刚体一章就引入代数讲法。这样做的原因在于，刚体的定点转动可以用固定在刚体上的刚体坐标系(刚体系)来描述。这样对刚体的描述就转化为对两个坐标系间相互关系的描述，从而可以用代数理论严格表示出来。此外，刚体转动是同学们在日常生活中常见的现象，通过将转动与代数理论的结合可以帮助同学们更好地复习和理解大一刚刚学过的线性代数的很多抽象公式。经过我们多年的教学尝试，这一教学思路已经取得了较好的教学效果。现在给出这一讲法的主要步骤[1]：

(1)

(2)

此外还容易得到

(3)

(4)

式(4)中3个独立参数有很多种选择方案，其中欧拉角由于可以给后续计算带来极大的便利，被人们广为采用。以常见一种欧拉角的取法为例：令转动前的刚体系为e1,e2,e3，其中进动是绕e3轴转动φ角，相应刚体系变为e‴1,e‴2,e‴3。(注：由于刚体系是随时间变化的，故这里下标用1,2,3来表示，而不用x,y,z。因为后者已经在前面的课程中默认是笛卡尔坐标系的基底)通过公式(2)不难建立新旧两组刚体系间的联系

(5)

(6)

(7)

(8)

式(8)即欧拉运动学方程。与几何方案相比，代数方法得到这一方程的思路显然更加清晰。

接下来建立动力学方程来得到力矩与欧拉角之间的联系。首先，角动量定理给出了力矩和角动量的关系

(9)

这样只需要建立角动量和角速度的关系。

由于在一般问题中角动量和角速度并不在同一方向，为此人们采用张量这一数学手段来建立二者之间的联系[1,2]：

(10)

(11)

(12)

于是得到

(13)

(14)

将式(2)、(3)代入，并注意到T的正交性，得到

(15)

这样，在惯量主轴所在的坐标系下角动量和角速度的分量间有了最简单的关系

(16)

将式(9)、(16)联立，并考虑刚体系基底随时间的变化，得到

(17)

此即欧拉动力学方程。将欧拉运动学方程(8)与欧拉动力学方程(17)联立，可建立力矩与欧拉角之间的联系。通过联立求解上述方程(只有几种特殊情况可以得到解析解)，原则上可以得到欧拉角随时间的变化规律[2]。

[1] H. Goldstein. Classical Mechanics(Third Edition)[M]. 北京：高等教育出版社，2005:134-199.

[2] 周衍柏. 理论力学教程[M].3版.北京：高等教育出版社, 2009:116-136.

[3] 黄克智,薛明德,陆明万. 张量分析[M].2版.北京：清华大学出版社,2003:21-27.

USINGTHEALGEBRAICMETHODTOTEACHTHEFIXEDPOINTROTATIONOFRIGIDBODY

RENYanyuHUOLeiFENGQichunTANGGuixin

(Department of Physics, Harbin Institute of Technology, Harbin Heilongjiang 150001)

Algebra is a very important mathematical tool in physics research and description. But it is also very difficult for beginners to learn due to its abstraction. Theoretical mechanics is the first theoretical course of physics undergraduates, and its training of using mathematical tools to deal with physical problems is more important than that of general physics. We try to use algebraic method to teach the fixed point rotation of rigid body in theoretical mechanics course. It can make a connection between the abstract mathematical theory and specific physical image, and lay a solid foundation for the follow-up courses.

theoretical mechanics; the fixed point rotation of rigid body; algebraic method

2017-04-25；

2017-09-11

高等学校力学课程2016年度资助项目(项目编号：JZW-16-LX-09)。

任延宇，男，讲师，主要从事高能重离子碰撞领域的研究,ryy@hit.edu.cn;霍雷，男，教授，主要从事高能重离子碰撞领域的研究，lhuo@hit.edu.cn。

任延宇,霍雷,冯启春,等. 刚体定点转动代数讲法的教学实践[J]. 物理与工程，2017，27(6)：78-80,85.

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