静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明

陈文卿 闫 述

(江苏大学计算机科学与通信工程学院，江苏 镇江 212013)

静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明

陈文卿 闫 述

(江苏大学计算机科学与通信工程学院，江苏 镇江 212013)

本文对静电场电位边值问题与解的唯一性定理作了补充与完整的证明．首先将区域边界与衔接边界从通常的混称中区分开来，确认了静电场边值问题中第三类边界条件应有的形式，在解的唯一性定理中增加了衔接条件和无限远边界条件，并根据数学表达式的形式重新归类。然后在区域边界条件、无限远边界条件和衔接条件下电位解的唯一性的证明中，讨论了第一、第三类边值问题电位解的唯一性与全二类边界条件下电位存在常数差的问题，解除了第三类边界条件系数为正的限制，说明了整个求解空间为无限大时适用的边值问题。最后通过例题说明了区域、无限远和衔接3种边界条件在解题中的应用。补充后的定理可以更好地作为解题和后续学习的依据和基础。

电位的边值问题；区域边界条件；衔接条件；唯一性定理；证明

电位的边值问题与解的唯一性是通信和电子信息类相关专业本科阶段电磁场与电磁波和电动力学课程中静电场部分的重要内容，也是求解其他边值问题的基础。该课程的现行教材中，普遍证明了第一、第二类边界条件[1-19]，对第三类边界条件的定义大多与《数学物理方法》[20,21]中的定义不同[1-11]，有的相同[12-15]。当求解区域不止包含一种媒质或无限大时，也需要将衔接条件[15-17,20-22]和无限远边界条件[11-15,22]均纳入唯一性定理[15]，并给出完整的证明。为此，本文定义与区分了区域边界条件与衔接边界条件，确认了第三类边界条件应有的形式，将无限远边界和衔接条件均纳入唯一性定理，并根据Helmholtz定理说明了无限远边界条件针对的是Possion方程。在定理的证明中，我们无需规定第三类边界条件的系数为正[21,22]；将无限远边界条件作为齐次第一、第二类条件处理；证明了第一、第三类边值问题和衔接条件下电位的唯一性，说明了第二类边值问题电位的解存在常数差的情况；根据衔接条件的数学表达式，将介质与导体的衔接条件归入第一、第二类边界条件，在现有工作[23,24]的基础上，使求解电位边值问题所依据的唯一性定理的证明更为完备。最后，通过典型的分离变量法例题，说明了区域边界条件、无限远边界条件和衔接条件在解题中的应用。

1 两种边界与两类边界条件

在静电(以及更广泛的电磁)问题中，所要求解区域的边界称为区域边界；如果在此区域中存在一种以上的媒质，不同媒质的分界面称为衔接边界[13,20-22](图1)。区域和衔接边界上场量所满足的条件往往通称为边界条件[1-12]。为明确起见，建议分别称为边界条件和衔接条件。

当求解区域包括场源，均匀、线性、各向同性媒质中电位满足的Poisson方程为

2Φr=-

(1)

当上述求解区域中无源，电位满足Laplace方程

2Φr=0

(2)

在区域边界上，常有3种类型的边界条件。第一类边界条件又称为Dirichlet条件：给定区域边界上的电位值，

ΦS=f1S

(3a)

第二类边界条件又称为Neumann条件：给定区域边界上电位的法向导数值,

(3b)

第三类边界条件又称为Robin条件[16,17]：给定区域边界上的电位值和电位法向导数的线性组合,

(3c)

式中，α和β均为不为零的实数。第一、第二类边值问题是第三类边值问题α和β分别等于零时的特例。第三类边界条件指的是给定区域边界上每一点的电位值和电位的法向导数值之和，并不是如式(4)所示那样在区域的一部分边界上给定电位值，在另外一部分边界上给定电位的法向导数值[1-11]。

(4)

如果求解区域为整个无限空间，有无限远处的边界条件为

式中，R是场点到源点的距离。

当求解区域是分区均匀的，即存在多种媒质(如图1所示)的情况下，在不同媒质的分界面上，Poisson或Laplace方程不再成立，界面两边的场量由衔接条件联系

图1 区域边界与衔接边界

式中i≠j，代表媒质i与媒质j；ρS为分界面上的自由电荷面密度。

在介质分界面上没有自由电荷，衔接条件(6)中的ρS=0，有

在导体与介质的分界面上，由于导体表面为等位面，导体表面上存在感应的自由电荷，故衔接条件式(6)变为

式中C为常数。

区域边界和衔接边界可以重合、部分重合或完全不重合。衔接条件(8a)和(8b)分别与第一、第二类边界条件具有相同的数学形式，故可按区域边界条件处理。

当求解区域中存在一种以上的媒质时，应在各媒质中分别列出Poisson或Laplace方程，定解条件除给出边界条件外还要给出衔接条件。

2 完整的电位边值问题解的唯一性定理与证明

2.1 完整电位边值问题解的唯一性定理

增加衔接条件和无限远处的边界条件后，静电场电位边值问题解的唯一性定理可以补充为：在封闭面包围的介质分区均匀的区域中，当边界上给定上述第一、第二、第三类边界条件中的一种(在边界的不同部分边界条件的类型可以不同[20,21])，那么区域内的电位由Possion方程或Laplace方程及衔接条件唯一确定。

当求解区域为整个无限空间、源分布在有限区域中时，唯一性定理仍然成立。

对补充后的静电场电位边值问题解的唯一性定理分两步证明，第一步：当求解空间中只有一种媒质时，证明区域边界条件下解的唯一性；第二步：当求解空间中有一种以上媒质时，证明区域边界及衔接条件下解的唯一性。

2.2 区域边界条件和无限远边界条件的证明

用反证法。假设在场域中电位φ满足Poisson方程或Laplace方程，边界满足三类边界条件之一的电位不是唯一的，至少有两个解，分别记为Φ′和Φ″，令

δΦ=Φ′-Φ″

(9)

将Φ′和Φ″代入Poisson方程(1)和Laplace方程(2)，有

将式(10a)中的两式和式(10b)中的两式分别相减后，得到

2δΦ=2Φ′-2Φ″=2Φ′-Φ″=0

(11)

利用第一标量Green公式

(12a)

取式(12a)中两个标量Ψ和Φ相同等于δΦ，则

(12b)

将式(11)代入上式(12b)，得

(13)

当给定第一类边界条件

Φ′S=Φ″S=f1(S)

(14a)

那么在边界S上

δΦS=Φ′S-Φ″S=0

(14b)

故公式(13)

(15)

当给定第二类边界条件

(16a)

那么在域边界S上

(16b)

故公式(13)

(17)

由式(15)和式(17)可见，对于第一和第二类边界条件，均有

(18)

式中体积分的被积函数大于或等于零，要使等式成立，被积函数必须为零，即

δΦ=0

(19)

上式表明，电位差δΦ是一个常数，由式(9)可知

δΦ=Φ′-Φ″=C

(20)

由给定的第一类边界条件式(14)，可知上式中的常数C=0，由于式(9)表示的是V内和S面上所有的Φ′和Φ″，所以边界面上电位给定时有

Φ′=Φ″

此时电位被唯一确定。

由给定的第二类边界条件式(16)可知，电位Φ的两个不同的解相差一个常数

Φ′=Φ″+C

正如对式(20)分析那样，只要边界的某一部分存在第一类边界条件，那么上式中的C=0，电位被唯一确定。如果全部边界都是第二类边界条件，那么电位的两个解相差一个常数，解是不唯一的。鉴于电场强度与电位的梯度关系E=-Φ，故通过电位得到的电场强度E还是唯一的。

第三类边界条件的证明稍显复杂。式(3c)中，α和β有同号和异号两种情况。如果同为正号，式(3c)保持不变；如果同为负号，可将负号归于等式右边的函数f3(S)。即当α和β同号时，总可以使α和β为正数，那么当给定第三类边界条件时

将上面两式相减后，将式(8)代入

则有

(21)

将式(21)代入式(13)，有

(22)

当α和β异号，假设α为负，那么式(3c)有

使系数仍为正数。这种情况下，式(12)和式(13)中，在包围体积V的边界面S上，相应地

(23)

此时，给定的第三类边界条件为

将上面两式相减，并将式(9)代入后，得

(24a)

那么有

(24b)

将式(24b)代入式(23)，得

(25)

类似地，当设β为负时，也可得到与式(25)同样的结果。

总之，由于式(22)和式(25)两边的被积函数均大于或等于零，面积分的系数均为负，若要使等式成立，等式两边必都等于零。所以对于第三类边界条件，有

与前面第一类边界条件证明中所做的分析相同，在边界上满足第三类边界条件时，电位Φ是唯一的。

综上所述，场域中电位Φ满足Poisson方程或Laplace方程，在边界上满足第一、第三类边界条件之一时，电位Φ是唯一的，并且只要在边界的某一部分存在第一或第三类边界条件的一种，电位就可以唯一确定。如果全部边界均为第二类边界条件时，电位Φ存在常数差解不唯一，但由此得到的电场强度是唯一的。

对于无限远边界，公式(5)意味着源分布在有限区域里，远处的电位及其径向偏导数

2.3 衔接边界条件的证明

在图1中，在S包围的区域V内第K个媒质构成的均匀分区Vk中Possion方程(1)和Laplace方程(2)为

仍然用反证法证明。设有两组不同的解Φ′和Φ″同时满足唯一性定理的条件，类似式(8)有

(28)

同样地，将Φ′和Φ″在代入Poisson方程(27a)和Laplace方程(27b)后，有

将式(29a)中的两式和式(29b)中的两式分别相减后

(30)

将Ψ=δΦk和Φ=εkδΦk代入第一标量Green公式(11a)中，有

(31a)

将式(30)代入式(31a)后

(31b)

若V内共有N个均匀分区，将会得到N个如式(31b)的方程，累加后有

(32)

式中，包围Vk的Sk可被分解成界面S的一部分，和(或者)相邻分区界面的共同部分。设构成界面S的共有L片，构成相邻界面共同部分的共有M片，故上式的面积分可写为

(33a)

上式的第二项面积分中，相邻界面Si与Sj的法向方向相反，且在界面Si与Sj两边有衔接条件(6)，式(33a)中

(33b)

将式(33b)代入式(32)后，有

(34)

在2.2中，已经证明上式(34)等号右边满足区域边界条件(3)的面积分为零，有

由于被积函数必定大于或者等于零，若要积分成立，必有

δΦk=0

类似地，上式表明δΦk是一个常数，由式(28)有

由衔接条件式(7a)和式(8a)可知，上式中的C=0，由此衔接条件得证。

3 分离变量法的解题实例

现以教材中常常出现的分离变量法例题，说明唯一性定理中补充的无限远边界条件和衔接条件的作用。

图2 均匀电场中的介质圆柱

解： 根据界面形状选取圆柱坐标系，且使z轴与介质柱轴重合。根据已知条件，电场和介质柱在z方向是均匀的，求解区域内无自由电荷分布，电位只是ρ、φ的函数，满足二维Laplace方程。在ρOφ平面上，介质柱面上的束缚电荷为环形有限分布，根据无限远边界条件式(5)，在ρ→∞处，介质圆柱对电位的影响可以忽略。至于外加均匀电场的电位，宜选取柱心电位为参考点，设Φx=0=0则无限远处的电位

化为圆柱坐标后

Φ∞=-E0ρcosφ

在真空和介质柱交界处，Laplace方程不成立。设介质柱外为区域0，电位为Φ0，柱内为区域1，电位为Φ1，需在这两个区域中分别列出Laplace方程

介质柱与真空的分界面上无自由电荷，上式中的待求量Φ0和Φ1通过衔接条件(6)

相联系。

随后通解形式的确定，待定系数的确定和解的线性组合，按通常的步骤进行。

4 结论

静电场电位边值问题解的唯一性定理在解题过程中起着指导作用。明确各类边界条件的定义，补增衔接条件和无限远边界条件，得到完整的定理可以规范解题过程，使解题依据更加充分。电位的边界问题本质是偏微分方程的边值问题，定理的补充和完整证明更便于后续学习其他位函数的边值问题如恒定电流场的电位，无源区恒定磁场的磁位等问题。在无限远边界的补充和证明中，仅处理了整个的无限大空间，场域无限大时，无限远处的电位一般为零，这与电荷分布在有限区域中一般选取无限远作为参考点一致，对于场域存在局部无限大条件时无限大处电位的确定有待进一步考虑。

对于从实际中抽象出的位函数的边值问题，大多数的解都是存在的，本文在此前提下证明了解的唯一性。但是，所设边界条件还应符合物理的、数学的规律，否则可能无解[25]。

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SUPPLEMENTANDCOMPLETEPROOFOFTHEELECTROSTATICBOUNDARYVALUEPROBLEMANDTHEUNIQUENESSOFSOLUTIONS

CHENWenqingYANShu

(School of Computer Science and Communication Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang Jiangsu 212013)

The electrostatic boundary value problem and the uniqueness of solutions are supplemented and proved in this paper. At first, the region condition and the convergence boundary are distinguished from the usual mixed singularity. The form of Robin Problem in electrostatic field boundary value problem is confirmed. The convergence condition and the infinite boundary condition are added to the uniqueness theorem of solutions. These boundary conditions are re-classified according to the form of mathematical expressions. Then in the proof of the uniqueness of the potential solutions under boundary conditions, infinite boundary conditions and convergence conditions, the problem of the coefficient of the third kind of boundary condition and the applicative boundary value problem with infinite space are solved. We also demonstrate the uniqueness of potential solutions for Dirichlet and Robin Problem and constant differences in the potential of Neumann Problem. Finally, the application of region, infinity and convergence boundary conditions in problems solving is illustrated by an example. The supplemented theorem can be better used as the basis for solving problems and follow-up learning.

the boundary value problem of potential; regional boundary condition; convergence condition; uniqueness theorem; proof

2017-05-10；

2017-08-31

国家自然科学基金三维CSAMT响应的时域数值模拟方法(41374129)。

陈文卿，硕士研究生，主要研究方向为电磁场理论和计算，chenwq1102@163.com； 闫述，女，教授，主要从事电磁场的教学和科研工作，研究方向为电磁场理论和计算电磁学，yanshu@ujs.edu.cn。

陈文卿，闫述. 静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明[J]. 物理与工程，2017，27(6)：54-59.

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