矩形腔的等倾干涉原理

周国全

(武汉大学物理科学与技术学院,湖北 武汉 430072)

矩形腔的等倾干涉原理

周国全

(武汉大学物理科学与技术学院,湖北 武汉 430072)

依据波动光学关于光的干涉的原理, 具体而详细地分析了一种能产生等倾干涉现象的矩形腔干涉装置，推导并讨论了该结构发生等倾干涉的条件及干涉条纹的分布规律。理论推导与实验结果相互印证，文中讨论了这一等倾干涉原理在光学技术的各领域，尤其是在二维微位移光学传感方面的应用前景，并强调了其对光学干涉理论的教学实践与教研内容的扩充与辅助作用。

干涉；等倾干涉；光学干涉；干涉圆环；矩形腔；光学谐振腔

自从杨氏干涉实验证明了光的波动本性之后，各种光学干涉仪应运而生，满足了光学技术发展过程中的各种特殊要求，奠定了现代光学技术的基础[1-4]。两列或多列光波发生干涉有3个条件： (1)频率相同；(2)振动方向相同；(3)相位差(或初相位差)恒定。不同的光学干涉装置就是用不同的方式满足以上条件尤其是第三个条件[1-9]。例如拙著文献[5]阐述了两种振幅分割式多光束等倾干涉结构――矩形腔与大顶角等腰劈干涉结构；文献[6～9] 阐述了若干等厚干涉结构及其干涉理论。本文更为详尽而深入地分析了文献[5]的矩形腔等倾干涉结构。在扩展光源照射下，光波在矩形腔内外的横向传播将发生振幅分割式多光束等倾干涉现象——产生不等间隔的同心圆环形条纹。本文还对矩形腔等倾干涉的约束条件与场强分布、半值宽度与反衬度，及其应用前景, 尤其是二维微位移光学传感方面，作了具体而详细的讨论。

1 矩形腔的等倾干涉原理

1.1 矩形腔内外光的横向传播规律

图1 矩形腔光学干涉原理示意图

图2 透射光强It—相位差δ分布图

基于几何光学与波动光学的基本定律，我们可证明如下结论：腔内的光线路径PP1P2P3P4具有与入射点无关的不变长度，当腔内同一反射回路的两组相对而反向的光线分别平行于矩形横截面两条对角线时，所有反射回路将重合为同一个封闭平行四边形回路，其周长为横截面矩形对角线长度L的两倍。

(1)

而光线在矩形腔内的路径PP1P2P3P4的长度H为

(2)

从P4点作反射光线I′的垂线，垂足为E, 由于△QPP4为一个等腰三角形，则有

(5)

及折射定理n1sini0=n2sini, 则I′,T1之间的表观(几何)光程差为

(6)

式(6)的推导过程中用到了式(5)及折射定理。表观相位差δ为

(7)

(8)

1.2 干涉场光强的极值条件与条纹的分布规律

这些光波束的复振幅形成等比数列，在单色扩展光照射下，发生多光束等倾干涉。反射线集合之诸光束的复振幅的代数和为

(9a)

同理透射线集合之诸光束的复振幅的代数和为

(9b)

(10)

(11)

显然当透射光场强式(11)极大(小)时，必致反射光场强极小(大)。由式(6)、式(7)及式(10、(11),当折射角i满足cosδ=1, 即当

(12)

时，透射光干涉场强式(11)为第k级极大，即(It)max=I0, 此时相应的反射光干涉场强式(10)为第k级极小。当折射角i满足cosδ=-1, 即当

(13)

时，透射光干涉场强式(11)为第k级极小，即

(14)

此时相应的反射光干涉场强式(10)为第k级极大。根据式(11)、(14)，可得如图2所示的透射光光强It随相位差δ而变化的分布图形。

显然由式(6)、(7)、(10)、(14)可知，这里发生的是等倾干涉，因为干涉场的光强分布及光程(相位)差公式随入射角而变，同一极大环纹对应于同一入射角(折射角)。本文作者与文献[5]的第二作者设计制作了具体的实验装置,使氦氖激光光束(波长为632.8nm)经扩束镜入射以代替扩展光源，虽然囿于经费，装置简陋，但确实观察到理论所预言的一些不等间隔、明暗相间的同心圆环，从而验证了这一等倾干涉原理和技术。如图3所示。但必须指出，观察等倾干涉条纹所需选用的最佳光源当首选非相干的扩展光源[3，4]。

图3 矩形腔等倾干涉条纹

1.3 干涉条纹的反衬度与半值宽度

正因为本文介绍的光学干涉装置为多光束等倾干涉结构，理论上其干涉条纹明亮细锐，对比强烈，具有很高的反衬度η(contrast，即对照度)[ 3，4 ]。以透射光干涉场为例,其反衬度η的表达式如下

(15)

图4 干涉条纹的半值宽度

因此,在两种介质分界面 (一般是光学玻璃与空气的分界面) 上,反射率R越大(越趋近于1), 则反衬度η就越大(越趋近于1)。另一方面，透射光干涉条纹的细锐程度则由其半值宽度ε决定[3，4]。根据式(11)～(13)，可得如图4所示的透射光的第k级极大条纹的光强It随相位差δ分布的图形。所谓半值宽度，即在其场强峰值I0处两侧的场强值It降到I0的一半时，两点间的相位宽度ε=δ2-δ1；当δ1,2=2kπ±ε/2时，It/I0=1/2，此时

(16)

将上式及It/I0=1/2代入式(11)，可得半值宽度ε=δ2-δ1的表达式即

(17)

上式表明,界面反射率越高,则半值宽度越小,条纹越细锐,条纹分辨率越高,干涉效果越好。

由界面反射率的菲涅尔公式可知，当界面内侧折射角i满足0≤i≤θc(全反射临界角)，随着折射角i增大，则平行于界面的S偏振的光强反射率将单调增加[3]；很显然,矩形腔的界面(AB、DC)的反射率因为其入射角(折射角)较平行膜结构的入射角(折射角)大，因而理论上矩形腔结构的等倾干涉条纹具有更明亮细锐的特点，从而拥有更高的反衬度和分辨率。

2 约束条件与若干讨论

为了保证每一个反射回路在内侧界面AD及BC发生全反射，并观察到等倾干涉现象，至少恰能观察到完整的中央干涉圆斑，基于这一要求,我们可推导出矩形腔的结构参数(即横截面的长宽尺寸), 与内外介质的折射率所需满足的约束条件,即相应于中央圆斑情形,此时腔内反射线平行于对角线，i=arctan(a/b),腔内界面AD处的入射角θ不小于全反射临界角θc=arcsin(n1/n2),其中

(18)

(19)

最后可得，矩形腔横截面的长宽尺寸之比与内外折射率需满足如下约束条件

(20)

另一方面，理论上当tani充分接近a/b时，亦即当腔内光线分别近似地平行于两条对角线时，反射回路数N将趋近于无穷，从而保证干涉的方式为理想的多光束等倾干涉，诸透射光与反射光束的复振幅的代数和式(9a-9b)便为一无穷级数。实际上由于来自于扩展光源或经过扩束透镜的激光光束具有一定的角宽度，由式(4)可知光线在腔内形成完整反射回路的次数N为

(21)

(22)

(23)

其中Δ为两者之相对误差，Δ=RN(2cosNδ-RN)；相应地，条纹峰值的实际半值角宽度εN比理论的ε∞值有所增加，εN=ε∞(1+Δε)。我们可给出一组数据，使读者对此有一粗略的定量概念：腔体长宽尺寸a:1cm；波长λ:632.8nm；为了使反射回路达到N:40个(即有限项数为40个),须使腔内光束折射角的角度范围在i:(45°-0.357°,45°+0.357°)；强度峰值相对偏差Δ:0.196，相应地半值角宽度较理论结果有所增加,而实际峰值强度较理论结果有所减弱。实验中最多约观察到7个较清晰的干涉圆环。

3 应用前景

矩形腔内光的横向传播的等倾干涉原理，表明它不仅能作为一种谐振腔而运用于光学技术领域，还可应用于二维微位移(速度)的光学传感测量技术。由于等倾干涉条纹具有高分辨率、高反衬度、细锐明亮等特点，所以测量的灵敏度和精度都很高，理论上精度可以达到10-6m～10-7m。基于平行膜多光束等倾干涉原理的F-P干涉仪，为微位移精密测量提供了技术基础，但仅限于一维测量[1-4], 而基于矩形谐振腔的等倾干涉原理而设计的光学微位移传感器, 则能实现二维微位移(速度)传感[11,12]。这是因为，如图5所示,a,b分别是矩形腔沿x、y轴方向的尺寸，根据式(7)、(9)与(11)、(12)，当矩形腔的两条邻边分别沿x、y轴方向发生微小而缓慢的位移，则干涉场强将发生周期性变化。由中央亮斑吞吐或条纹移动的个数，即可计算腔壁沿x或y轴方向的位移大小，从而实现二维微位移(速度)传感。实际上有两种二维微位移(速度)的光学传感方式。一种是分时分维模式：对x方向测位移时，固定y方向可移动部件不动；对y方向测位移时，固定x方向可移动部件不动。另一种模式较为复杂，以下给予具体而详尽的分析。

图5 二维微位移传感的光学干涉装置

为了同时对两个相互垂直方向的微位移进行测量, 我们对上述干涉结构加入了附加功能即利用矩形腔等倾干涉的装置的AB与DC两块光学玻璃同时进行F-P干涉，实现联合测量，可以同时精确地测量x、y轴两个方向的微位移。具体装置如图5所示。干涉系统由两个L型的直角板组成，y方向上的两平板内侧为反射平面镜，x方向的两平板为光学半透膜，涂有能量反射率为R的薄膜，两束平行入射光束I1与I2的入射角分别为i0与i′(零角度附近),在S1与S2处分别形成干涉圆斑。L1和L2构成矩形，当L1固定不动，而让L2沿着x轴或y轴两个方向移动(但不能转动),S1和S2处形成极强干涉亮斑的相位差条件为

其中k1、k2为整数，i为腔内折射角(等于腔外入射角i0)，n1,λ分别为空气折射率与入射光真空波长。当L2直角板移动时，a,b将分别发生变化Δa、Δb，进而相位差δ1、δ2也分别发生变化Δδ1、Δδ2分别为

其中，Δa≡Δx,Δb≡Δy，为L2板分别在x和y方向的位移，Δk1和Δk2分别为干涉斑点S1和S2处明暗变化的周期数，并可通过检数技术测定。联立并求解上面两式(26)和(27)，可得x和y方向的位移值Δx,Δy的表达式分别为

(28)

由于腔内折射角i、i′、入射光波长λ、以及空气折射率n1均为常数，因此方程组(28)给出了(Δx，Δy)与(Δk1，Δk2)之间的线性关系；通过实验校定的方法即可测定式(28)中Δk1和Δk2前的线性系数，从而最终测得分别发生于在x和y轴方向的二维微位移ΔS=(Δx,Δy)。

4 结语

理论与实验结果均表明，在单色/复色扩展光源照射下，我们将观察到单色/彩色干涉圆环。文献[5]及本文关于矩形腔内等倾干涉原理的发现与研究，丰富了有关矩形光学谐振腔与等倾干涉的教学内容，扩充了光学等倾干涉的实现方式。它不仅对于F-P干涉技术具有相似性、等效性, 而且具有补充性, 即一些新的特点。如果牺牲对于两个竖直反射侧面的全反射要求，则即可利用布斯特定律，获得高偏振度的线偏输出; 另一方面，利用这一干涉结构有可能实现二维微位移(速度)的光学传感。对于矩形腔以及等腰劈等倾干涉结构的特点及其应用的研究, 尤其是在二维微位移光学传感方面应用的研究, 已经并将更深入地进行[11-14]。

鸣谢： 感谢钟锡华教授对此文提出了宝贵的修改建议。

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PRINCIPLEOFEQUALINCLINATIONINTERFERENCEINARECTANGULARCAVITY

ZHOUGuoquan

(School of Physics and Technology, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072)

According to the theory of wave optics about optical interference, this paper concretely introduces and analyzes the rectangular cavity as a device of generating the equal inclination interference. The conditions of equal inclination interference and the distribution pattern of interference fringes are deduced and discussed, which are in accordance with the observed phenomena in a verification experiment. Meanwhile, the application possibilities of this interference principle in different fields of optical technology are discussed, especially for the field of two dimensional optical micro-displacement sensor. Its subsidiarity to our pedagogical practices about optical interference is emphasized. The content of the teaching research about the equal inclination interference is extended.

interference; equal inclination interference; optical interference; rectangular cavity; optical resonant cavity

2017-04-02;

2017-07-07

高校教指委电动力学教学研究项目. 项目编号:JZW-16-DD-15； 中央高校教育教学改革专向项目-武汉大学“351人才计划”教学岗位资助项目。

周国全，男，副教授， 研究方向：电磁场与光电子技术；非线性方程与孤子理论,zgq@whu.edu.cn。

周国全. 矩形腔的等倾干涉原理[J]. 物理与工程，2017，27(6)：45-50,53.

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