浅论Kane难题

张九铸

(金昌市金川总校龙门学校， 甘肃 金昌 737100)

浅论Kane难题

张九铸

(金昌市金川总校龙门学校， 甘肃 金昌 737100)

文章研究了刚性球壳与固定的刚性水平面的碰撞，在动能损失计算式中引入了碰撞点的切向末速度与切向初速度之比，根据能量守恒定律指出了合理的k值范围，从而指出了Kane难题即碰撞过程中的动能损失小于零的原因。

斜碰撞；动能；Kane难题；库仑摩擦定律

图1 均质刚性球壳

1 动能损失的计算式

再设球壳在整个碰撞过程中受到的切向冲量为IF，由平面运动刚体动力学方程有

(3)

(4)

球壳的动能损失为

(7)

将式(4)、(5)、(6)代入式(7)，整理得到

(8)

以弹性碰撞为例：因为e2=1，所以，为使ΔEk≥0，须有k2≤1，即

-1≤k≤1

(9)

k=1表示球壳不受切向力，以致碰撞点的切向初、末速度相等，这时ΔEk2=0。k=0表示碰撞点切向末速度为零，这时ΔEk2最大。k=-1表示碰撞点初、末切向速度等大、反向，ΔEk2=0；且在整个碰撞过程中碰撞点无相对滑动，否则，因此产生的滑动摩擦力将使ΔEk2≠0。总之，能量守恒定律给出了碰撞点的切向末、初速度之比k或碰撞过程性质一个限制：由于动能损失不能为负，故碰撞点的切向末速度绝对值不能大于切向初速度绝对值。

(12)

文献[1]给出了一组数值：α=30°，e=0.7，μ=0.4，γ>0.20。由式(12)和这些数值可得出ΔEk/Ek0<0这一不符合能量守恒定律的结果。现在进一步取γ=0.3，代入式(10)、(11)得

而

可得

显然不满足式(9)，导致ΔEk/Ek0<0。

2 Kane难题产生的原因

文献[1]给出的上述初始条件都是合理的，所用定理和公式(质心运动定理、质心系中的动量矩定理及恢复系数的牛顿公式)也是合适的，这样，就本问题来说Kane难题产生的原因只能是用库仑摩擦定律IF=-μIN将法向冲量和动摩擦力冲量联系起来。由于我们无法确定球壳的全部受力或它们之间的关系，而用库仑摩擦定律去联系法向约束力和切向作用力在这里是错误的。

(13)

和

(14)

纯滚动开始时有

vx1+ω1R=0

(15)

整个碰撞过程中，在竖直方向上，由质心运动定理有

(16)

由式(13)、(14)、(15)，得到

以上两式相除并且利用式(16)，得到

可见，因为缺乏计算IN1、IF2、IN2的全部知识，所以不能最终算出k，也就不能算出ΔEk2。

[1] 刘延柱．关于摩擦碰撞的Kane难题[J]．力学与实践，2012，34(1)：91-94．

Liu Yanzhu． Kane problem about friction collision[J]． Mechanics in Engineering， 2012， 34(1)： 91-94． ( in Chinese )

DISCUSSIONONKANEPROBLEM

ZHANGJiuzhu

(Longmen School of Jinchuan Group LTD, Jinchang Gansu 737100)

Studying the collision between rigid spherical shells and fixed rigid flat surface, the article educes the rational value range ofkaccording to the law of conservation of energy by adding the ratio of tangential final velocity and tangential muzzle velocity of the collision point in the equation of kinetic energy loss, thus points out the reason why the kinetic energy loss in a collision is less than zero(Kane problem).

oblique collision; kinetic energy; Kane problems; Coulomb’s law of friction

2015-03-18；

2015-07-31

张九铸，男，中学高级教师，jcgszhjzh@sohu.com。

张九铸. 浅论Kane难题[J]. 物理与工程，2017，27(6)：60-61.

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