两种数学思想在数学分析学习过程中的重要性

张文丽，张燕霞

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

两种数学思想在数学分析学习过程中的重要性

张文丽，张燕霞

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

《数学分析》由于综合性强、理论性强、应用性较差从而导致了学生学习兴趣低。以数学分析中的积分理论为例，借助极限思想和类比思想，可以降低学生学习积分理论的难度，激发学生学习兴趣，从而提高学生的学习效率。

极限思想；类比思想；积分理论

《数学分析》这门课的主要特点就是综合性强、理论性强、但应用性较差。数学分析这门课是许多后续的课程学习的基础，例如《常微分方程》《复变函数》《实变函数》《数学物理方程》《概率论与数理统计》等，数学分析主要应用于物理学、经济学[1]中。

这门课程不仅对我们提高分析问题和解决问题的能力有很大的帮助，还能提升思考与处理问题的逻辑性和缜密性以及培养数学思维与创新能力，获得有关数学的基本思想，对于从事教育事业有很强的指导作用[2]。除此之外，还可以提高我们对于数学的应用意识、自主、自立学习能力以及探究新知识的精神。数学分析主要来源于实践，对于许多的数学问题的解决主要是依靠数学分析的理论。

1 数学思想

1.1 极限思想

极限思想[2]是数学分析中的一种必不可少的思想，也是近现代数学中的一种解决问题的重要思维方式。与一些科学的思想、思维方式相同，它也是社会、科技不断发展的产物。极限思想实质上是以极限的观点为基础，以极限理论为根据来阐述分析并解决问题的一种主要数学思想。第一次运用极限思想处理问题是16世纪荷兰的数学家斯泰文在考察三角形的重心中，无意中指出了应将极限思想发展为一个实用的概念的方向[3]。数学分析这门课之所以能处理许多初等数学无法处理的问题，主要原因之一就是借助并采用了极限思想。

数学分析中的极限思想就是从“不变”认识“变”的一种思维，例如在求变速直线运动的瞬时速度时，我们把瞬时速度定义为平均速度的极限，用割线的极限位置来表示切线。还可以从“直线形”认识到“直线形”，最具有代表性的就是刘徽的割圆术。除此之外，认识“量变”与“质变”的转化，量变可以引起质变，这在数学的研究发展中具有非常重要的作用，从内接于圆的正多边形而言，当正多边形的边数加倍之后，还是一个正多边形，此时只是正多边形的边数产生了改变，但经过边数的无穷次数的加倍之后，就变成了一个圆，此时多边形的面积就转化为了圆面积。借助极限思想，我们还可以从近似的角度认识精确，通过观察一连串的近似值的趋向，而确定准确值[4]。上述所讲的求瞬时速度、圆的面积都是利用极限由近似变为精确的值。

数学分析中存在的许多的定义及性质例如函数的连续性、定积分、曲线积分、曲面积分等都是以极限概念为基础的。极限概念中所涉及的逻辑结构复杂，包涵的数学知识内容丰富，用符号来代替语言的形式较为抽象，采用极限思想来解决具体的问题的方法：首先要确定被研究的一个未知量，然后利用构造法，构造一个与它相关联的变量；接下来，将变量经过无限的过程之后趋向的结果就近似等同于所求的未知量[5]；最后，通过极限的运算来获得这个结果。

1.2 类比思想

类比思想[6]是数学分析学习过程中的另一种重要思想，类比就是通过比较两个研究对象的定义、特征、关系等，观察是否存在相同或相似之处，从而推断出它们在其它方面是否也存在相同或相似的性质。运用类比思想去学习数学分析这门课程不仅能减低学习的难度，还能提高学习的效率，培养学生举一反三的能力，提高其独立思考与创新的能力[7]。

数学分析中的许多抽象概念都可以通过类比的思想进行学习掌握，例如：在极限理论中一元函数的定义、连续性、可积性、可微性，经过类比得到二元函数的定义、连续性、可积性、可微性。在微分理论中有：从一阶导数通过类比可得到二阶导数，在积分理论中有定积分到重积分、曲面积分。通过类比思想我们可以引出许多的相关性质与推论。比如数列极限的唯一性通过类比可得到函数极限的唯一性等。运用类比思想解决问题不但减低对于新知识的接受难度还可以拓宽进一步学习的深度。

2 学习数学分析过程中所存在的问题

2.1 数学分析的内容较为抽象、理论性强，从而导致学生的学习兴趣逐渐降低。并且整本书中所包含的许多的定义与性质都是用抽象的数学符号来替代语言文字描述，学生难以真正掌握、理解所学的内容。

2.2 数学分析中所涵盖的知识内容逻辑性强、计算量比较大，导致学生学习的兴趣降低。在数学分析的计算中，相对而言，对于有理函数积分运算与无理函数的积分的运算就较为困难。

2.3 数学分析中的内容在实际生活中应用性差，数学分析的内容仅在学习定积分、重积分、曲线积分、曲面积分时有一定的应用。它们主要体现在几何和物理中，而与实际生活联系较弱。这就导致学生在学习过程中感到学习这门课毫无用处，从而导致其兴与学习效率的减低。

3 利用极限思想、类比思想来提高学生学习兴趣、提升学习效率

利用数学分析中的数学思想—极限思想、类比思想，不仅可以培养学生的学习兴趣，还可以提高学习效率。以积分理论为例加以说明。

3.2 在定积分定义的基础之上，我们可以利用类比的思想来学习重积分、曲线积分、曲面积分的定义。定积分、重积分、曲线积分、曲面积分它们的不同之处主要体现在两个方面：①积分变量的个数；②积分区域。将定义域由R1空间上的闭区间推广到R2空间上的有界闭区域、R3空间上的有界闭区域上，则就分别得到了二重积分和三重积分。如果将定义域由R1空间上的闭区间推广到R2空间上的可求长的曲线上，那么就得到了第一型曲线积分和第二型曲线积分。再将定积分的定义域由R1空间上的闭区间推广R3空间上的可求面积的曲面上，就得到了第一型曲面积分和第二型曲面积分。通过类比的方法来学习这些积分，不仅使用的时间短，而且可以比较简单的掌握其定义，从而提高学生的学习兴趣，提升学习效率。

极限思想在学习积分的定义中具有非常重要的地位。利用极限思想，在理解定积分的定义的基础之上去学习曲线积分、曲面积分、重积分等积分，不仅能够减低学习的强度，还可以吸引学生学习的注意力并增强自信心，提高学生对于积分内容的学习兴趣与学习效率。

总之，通过巧妙利用数学分析中的思想—极限思想与类比思想可以在很大程度上降低学生学习的难度。极限思想不仅可以很好的连接数学分析中的其它概念，而且可以解决许多初等数学不能解决的问题。应用类比思想不仅可以使许多问题简单化，还可以通过类比进行猜想、促进并推动数学分析这一学科的不断发展。

［1］李晨.高等数学在经济分析中的应用及阐述［J］.科技展望，2017，（12）:202-203.

［2］朱永婷.对极限概念的理解［J］.高师理科学刊，2017，37（2）:68-69.

［3］蒋峰，蒋永红.极限思想中认知层次探析［J］.自然科学版，2013，26（1）:19-20.

［4］陈静.极限思想的辩证思考与理解［J］.价值工程，2009，28（10）:43-44.

［5］张武军.加强数学思想方法教学的作用及途径研究［J］.河南工业大学学报（社会科学版），2010，6（2）:149-152.

［6］刘红玉.类比法在数学分析课堂中教学的应用［J］.吕梁教育学院学报，2012，29（3）:83-85.

［7］陈亦佳，白艳丽.类比思想在数学中的应用［J］.玉溪师范学院理学院，2015，31（8）:29-34.

［8］王志攀.极限思想在数学中的应用［J］.课程教育研究，2015，（35）:132-133.

The Importance of Two Mathematic Thoughts in the Study of Mathematical Analysis

Zhang Wen-li，Zhang Yan-xia
（Department of Methematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

Strong comprehensive,deep theory and narrow application of mathematical analysis lead to the students’low learning interest.Using limit thought and analogy thought,taking integral theory for example can lower the students’study difficulty,spur their enthusiasm and increase learning efficiency.

Limit thought;Analogy thought;Integral theory

O173

A

1673-2014（2017）05-0074-03

长治学院校级教改项目（JC201709）；长治学院优秀课程（数学分析）；山西省高校科技研究开发项目（2013158）

2017—02—21

张文丽（1971－ ），女，山西晋城人，副教授，主要从事非线性泛函分析研究。

（责任编辑 赵巨涛）