一类双曲型偏微分方程混合问题的分离变量解

贾对红

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

一类双曲型偏微分方程混合问题的分离变量解

贾对红

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

研究了一类特殊的双曲型偏微分方程的混合问题，用初等解法即分离变量法得出了混合问题的非平凡解。

偏微分方程；混合问题；分离变量法

由于信息技术以及数值计算的飞速发展，偏微分方程的数值解法得以广泛发展与应用，而一些初等解法却渐渐被人们忽略。文章针对一类特殊的双曲型偏微分方程的混合问题，采用了一种初等解法即变量分离法给出了其解。

对于混合问题：

设方程具有满足上述边界条件的非零变量分离解u（x，t）=X（x）T（t），将其代入方程得：

即得：

在上式中，左端是t的函数，右端是x的函数，而它们在区域Q={0＜x＜l，t＞0}上恒等，因此它们只能是常数，我们设这个常数是-λ，从而有：

将解（x，t）=X（x）T（t）代入边界条件得：

由于我们所求的是非零解，故T（t）≠0，从而得到S-L问题：

求解S-L问题（4）得方程的通解为：

代入边界条件得：

相应的非零解为：

这样我们就得到了S-L问题的解。

将式（5）中的λ代入方程（2），求得：

即un（x，t）=Xn（x）Tn（t）满足（1）中的方程和边界条件，我们将所有的un（x，t）叠加起来使得它满足（1）中的初始条件，即取：

从而得到：

同理得：

这样我们就求得了混合问题（1）的形式解（7），其中系数An，Bn由公式（10）（11）给出。

为了证明形式解（7）确实是混合问题（1）的解，我们需要对定解条件加上光滑性要求，以及在角点（0，0），（l，0）处的相容性条件，由此得到以下定理。

则由（7）式给出的函数u（x，t）是混合问题（1）的解。

［1］朱长江，邓引斌编著.偏微分方程教程［M］.北京：科学出版社.2005.

［2］车向凯，谢彦红等.数理方程［M］.北京：高等教育出版社.2006.

［3］白艳平，陆平，薛亚奎编著［M］.北京理工大学出版社.2006.

The Separation of Variables for a Class of Hyperbolic Partial Differential Equations

Jia Dui-hong
（Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

In this paper,we study the mixing problem of a class of special hyperbolic partial differential equations,and obtain the nontrivial solution of the mixing problem by the elementary solution method.

partial differential equations,mixing problem,separation of variables

O175

A

1673-2014（2017）05-0029-02

2017—04—16

贾对红（1979— )，女，山西寿阳人，讲师，主要从事微分方程及其应用研究。

（责任编辑 赵巨涛）