Green公式的一个注记

2018-01-04董建新

长治学院学报 2017年5期

关键词：数学系顺时针长治

董建新，王飞

（长治学院数学系,山西长治 046011）

Green公式的一个注记

董建新，王飞

（长治学院数学系,山西长治 046011）

Green公式沟通了二重积分与第二类曲线积分的关系。文章介绍了利用Green公式将两者相互转化时的计算方法，使学生加深对Green公式的理解。

Green公式；辅助线；封闭曲线

1 预备知识

若函数P，Q在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有：

这里L为区域D的边界曲线，并取正方向，上述公式称为格林（Green）公式[1]。

Green公式沟通了二重积分与第二类曲线积分的关系。由第二类曲线积分的定义，当L是负方向时，仅需在格林公式的左边或者右边加负号。另外，使用Green公式将第二类曲线积分转化为二重积分时需要满足两个条件：（1）曲线L封闭；（2）函数P，Q在D上连续，且有连续的一阶偏导数。在使用Green公式将二重积分转化为曲线积分也要注意函数P，Q的表示方法。

2 主要结果

2.1 利用Green公式将第二类曲线积分转化为二重积分

在计算第二类曲线积分时，如果题目满足上述两个条件，则可以直接使用Green公式将其转化为二重积分；否则，分两种情况讨论。

2.1.1 条件（1）不成立，条件（2）成立

对于这种情况，重点是做辅助线使得曲线封闭，但需要注意方向。

例1 计算∫ABxdy，其中AB为圆心在原点，半径为a的圆的第一象限部分，并取顺时针。

分析本题已知曲线的方程，按照第二类曲线积分的计算方法可以计算。如果用Green公式，显然函数满足条件（2），但不满足条件（1）；作有向辅助线BO和OA，对闭曲线AB+BO+OA（负方向）按照Green公式将其转化成二重积分计算。（作辅助直线BA亦可）

解：做BO和OA，由Green公式

2.1.2 条件（1）成立，条件（2）不成立

分析题目虽没有给出曲线L的方程，但曲线满足条件（1），同时，函数P，Q不满足连续且有连续的一阶偏导数的条件（2）。通过观察函数特点，作有向辅助线L1：x2+y2=ε2并取顺时针（做法不唯一）来剔除原点，记L与L1围成的区域为D1。此时，函数P，Q在D1上满足了相应的条件（2），且L与L1合起来是D1的边界曲线且是D1的正方向。

解：作封闭曲线L1：x2+y2=ε2并取顺时针，记L与L1围成的区域为D1，在D1上使用Green公式得：

几个思考：

（1）从例2的可以看出，结论与L的表达式无关。例如：当L的方程改为x2+y2=a2，|x|+|y|=a等封闭曲线，也可以用Green公式计算。

（2）若L改为不包含原点的任意逐段光滑的封闭曲线时，Green公式使用条件成立，直接代入公式可得

2.2 利用Green公式将二重积分转化为曲线积分

在应用中，Green公式一般是将第二类曲线积分转化成二重积分来计算。对于积分区域为有界闭区域的二重积分，一般化成两种顺序的累次积分计算，但有时计算困难；而利用Green公式将二重积分转化为第二类曲线积分可以有效的避免这一情况。需要注意的是：将二重积分转化为曲线积分时，要先计算出相应的函数P和Q；其次是函数P和Q的表达式并不唯一，要根据实际情况而定。

例3[2]计算y=1，y=x所围成的区域。