Matlab在《线性代数》课程教学中的应用

程松林 上海电机学院

Matlab在《线性代数》课程教学中的应用

程松林 上海电机学院

通过实例问题的建模分析和计算探究了Matlab在线性代数课堂教学中的重要作用，为课堂矩阵的计算理论教学引导学生深入理解和掌握计算方法，为后续课程理论与实践结合奠定基础。

线性代数 Matlab 模型

线性代数是以矩阵计算为主要工具来研究数量间的线性关系的基础理论课程，随着计算机和信息技术的飞速发展与广泛应用，越来越多的工程问题可以通过离散化的数值计算得到定量地解决，使得主要以离散变量作为对象的线性代数课程发挥着越来越重要的作用。同时，随着Matlab技术的推出和不断推广，Matlab作为线性代数课程自主学习的计算软件，可以有效帮助学生强化实践、机算（用计算机算题）和探索环节，为进一步理解矩阵计算理论提供了天然的体验平台。更重要的是，基于Matlab的线性代数计算广泛应用于信息、电子、通信、控制、金融、经济和管理等领域，因此为最大限度调动学生学习的主观能动性在线性代数课程中，引入Matlab教学和实验模型环节是非常有必要的。

一、投入产出模型

设某国的经济由煤炭、电力和钢铁三个部门组成，各个部门之间的产出分配如下表所示：

部门的产出分配情况 采购部门煤炭 电力 钢铁0.0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 电力0.4 0.5 0.2 钢铁

表中第二列表示电力的总产出分配为：40%给煤炭部门，10%给电力部门，50%给钢铁部门，分别用x1, x2, x3表示煤炭、电力和钢铁部门产出的总价格，求使得每个部门收支平衡时的价格。

解：煤炭部门的产出为x1，投入为0.4 x2+0.6x3，收支平衡假设下有x1= 0 .4 x2+0.6x3；同理，电力和钢铁部门也分别由收支平衡可得

整理得齐次方程组并运用矩阵的初等行变换方法将矩阵化成行最简形，再写出等价方程组来进行求通解，在课堂讲解这种“手算”方法后也可以在Matlab上通过命令来计算：

>> A=sym([1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]);

>> B=null(A)

输出结果为B =[]31/33, 28/33, 1]T，即表示方程组有通解x = c(31,28,33)T，就是说当该国煤炭、电力和钢铁三个部门的产出分别为31、28和33个单位时，可以实现投入产出的平衡。

二、交通流量分析模型

假设某城市有2组单行道，构成了一个包含4个节点A,B,C,D的十字路口，如图1所示。图上带方向箭头旁边的数字表示在交通繁忙时段的汽车从其他路段进出此十字路口的流量情况（每小时的车流数）。现在要求我们计算每两个节点之间该路段上的交通流量x1, x2, x3, x4具体为多少。

图1 十字路口交通流量图示

解：我们假定在每个节点上，进入和离开的车数相等，可以得到四个十字路口节点的流通方程：节点A：x1+ 4 50 = x2+610；节点B：x2+ 5 20 = x3+480；

节点C:x3+ 3 90 = x4+600；节点D:x4+ 6 40 = x1+310。

将方程进行等价变换整理，写成非齐次方程组的标准形式，在课堂上讲解运用矩阵的初等行变换求得矩阵的行阶梯形和行最简形后，我们可以引导学生基于Matlab软件输入命令并调用函数U=rref([A,b])，从而很快求得上述方程组对应的增广矩阵的行最简形式。

>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];

>> b=[160;-40;210;-330];

>> U=rref([A,b])

输出结果为

实验结果分析：

矩阵U是所求增广矩阵的行最简形，其中第1至4列分别代表变量x1, x2, x3, x4的系数，第5列则是代表等式右边的常数项。把第4列移到等式右边，其等价方程结果为：

由于有效方程数比未知数的数目少，三个有效方程只能解决三个变量的问题，即没有给出足够多的约束信息来唯一地确定四个变量x1, x2, x3, x4，其原因在于，特别地如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，不会影响总系统的输入输出流量，但可以大大增加这四条路上的流量。所以我们称x4为自由变量。

上面两个模型分别是基于实际问题建立齐次方程组模型和非齐次方程组模型，对于它们的解我们可以在课堂上演示“手算”方法的同时，在课堂上基于Matlab软件进行试验计算，并通过验证两种算法的结果一致来激发大家对矩阵计算方法的学习热情和应用于实践的兴趣，为后续课程如运筹学、离散数学、数值分析和矩阵分析等课程学习打下坚实的基础。

[1]刘三明.线性代数及应用.南京大学出版社,2012

[2]吴传生,王卫华.线性代数.北京：高等教育出版社,2003.