含参数的一元二次不等式解法的教学探究

苏春蓉

【内容摘要】本论文是对含参数一元二次不等式解法的教学进行探究以及设计，目标就是为了让高中生深刻理解和掌握含参数一元二次不等式的解法，经过教师的课堂教学，让学生容易接受含参一元二次不等式的解法，也为各位教师提供一些教学参考。

【关键词】参数 一元二次不等式的解法 教学

在含参一元二次不等式的教学中，教师的作用非常重要，怎么设计含参一元二次不等式的教学方案，是教学的重要基础，本论文就是对含参一元二次不等式的教学进行分析和探究。

一、含参数的一元二次不等式解法的教学目标

关于高中含参数的一元二次不等式解法的教学目标一般都三个特点：第一，先教简单的知识点，等学生了解了基础知识再深度延伸和拓展;第二，合理的运用划归的思想，就是教师指导学生把含参数的一元二次不等式进行变形，回归数学的本质上面进行解题;第三，把变形后的不等式和原先的不等式进行比较，引导和启示学生掌握含参数的一元二次不等式的本质解法，使学生的思想更加的活跃，实现灵活运用的目的。在高中的数学大纲中明确要求，学生不仅要掌握一元二次不等式的系统知识，还要掌握这些知识之间的联系。此外，学生还需要灵活掌握其解决有关知识的解题技巧和能力。一元二次不等式是非常重要的，其在几何方程、函数和三角关系之间起着连接的作用，是高考中经常出现的知识点，其教学的难点就是怎么分类和讨论一元二次不等式的参数问题。

高中大纲中规定含参一元二次不等式的教学目标：一方面，让学生掌握基本知识、培养解决问题的能力，教师要指导和帮助学生深入的熟悉一元二次不等式的基本知识，并灵活的掌握含参数的一元二次不等式的求解过程和方法，正确的讨论一元二次不等式的参数，提高学生的解决问题的技巧和能力，运用数形结合的方法，把含参数的不等式进行化简、转化、讨论参数，进而提高学生综合能力;另一方面，教师要通过教学让学生知道参数代表的作用，这样才可以根据参数的分类标准，进行正确的讨论。这样通过教师引导学生分析含参数的一元二次不等的求解方法有利于提高学生学习数学的兴趣，还能让学生开发自己的创新精神。

二、教学步骤

在含参数一元二次不等式的解法教学之前，学生熟悉和掌握了一元二次不等式的基本知识以及解题的过程，也熟悉了一元二次不等式的系数就是常数的解题方法，能灵活的掌握各种解题过程和方法。教师在教学生含参数一元二次不等式的解法时，首先把学生分成几个小组，之后再利用各个小组的讨论来实现之后的教学，教师要引导每一个小组成员认真的分析和探索把一元二次不等式中的系数变成参数之后，该怎么样求解，然后指导学生把一元二次不等式和含参数的一元二次不等式放一起对比研究，认真分析区别和联系，探索出这两种不等式解法的相同地方，并指导学生把含参数的一元二次不等式进行变形，回到一元二次不等式求解方法上来，让学生慢慢了解参数在一元二次不等式中的地位和用处，这样学生才能快速的知道和熟悉解决含参数的求解思路、方法、流程。教师逐层递进，一步步的引导学生发现、并掌握含参一元二次不等式的解题流程。

1.引入含参数的一元二次不等式的解法

教师让同学们讨论不等式（1-b）x-b>b2，最后根据学生的讨论结果，教师再归纳解法，原不等式变形就是x2+（1-b）x-b>0，经过和之前学过的一元二次不等式的解法对比分析发现，这道题就是把之前的系数变成了参数，教师要指导学生发现这个变化，然后进行求解;求解过程：由x2+（1-b）x-b>0，因式分解得（x+1）（x-b）>0，解出方程的两个根是x1=1，x2=b;当b>-1的时候，利用图像能够得到：x∈（-∞，-1）∪（b，+∞）;当b=-1的时候，得出不等式的解是x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）;当b<-1的时候，利用函数图像能够得出x∈（-∞，b）∪（-1，+∞）。这个题经过教师指导的，由变式让学生进行讨论和探索，并得到基本含参数不等式的解法思路、方法以及流程。通过教师的扮演，让学生更直观明确书写的格式和规范性。

最后，教师总结含参数的一元二次不等式的一般求解方法。例如 ax2+bx+c=0（a>0），方程的两根是x1，x2且x10 （a>0）的解集是x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞），假设ax2+bx+c=0 （a<0），方程的两根是x1，x2且x10 （a<0）的解集是x∈（x1，x2），教师要题型学生注意二次项系数的正负，影响不等式的ax2+bx+c>0 （a≠0）的解集。此外，ax2+bx+c=0 （a>0）中當b2-4ac>0，并且两个方程的根x1，x2且x10 （a>0）的解集是x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）;假设ax2+bx+c=0 （a>0）中b2-4ac=0并且两个方程的根x1，x2且x1=x2，然而不等式的解是x∈（-∞，x1）∪（x1，+∞）;假设ax2+bx+c=0 （a>0）中b2-4ac<0，则方程无解，不等式的解集是空集。这里要重点注意一元二次方程的判别式会影响对应的一元二次不等式的解。因此，同学们在求解含参一元二次不等式时一定要注意对二次项系数，对应方程的判别式，以及根的大小的讨论。

2.关于含参数的一元二次不等式解法的讨论

例题：求一元二次不等式x2-2x+b>0的解

解题步骤：由x2-2x+b=0，有判别式b2-4ac=4-4b=0，得到b=1，因此本题要进行三方面的讨论：当b<1的时候，得到判别式Δ=1-b>0，对应方程的两个根是x1=1+1-b，x2=1-1-b， x1>x2，因此不等式的解集是x∈（1+1-b，+∞）∪（-∞，1-1-b）;当b=1的时候Δ=0，方程的两根相等，不等式的解集是x∈（-∞，1）∪（1，+∞）;当b>1时，Δ<0，对应方程没有实数根，不等式的解集为R。此题因为二次项系数是确定的，也就是确定了一元二次不等式对应二次函数图像的开口方向，因此只仅仅讨论了判别式。讲完，不妨可以对此题进行变式：bx2-2x+1>0，让学生再从二次项系数及判别式分别进行讨论，强化分类意识。

结束语

本文简单的介绍了含参一元二次不等式的解法以及教师教学时的策略方法，通过具体实例介绍含参一元二次不等式的两种解法类型，希望为以后教师的教学提供帮助。

（作者单位：江苏省江阴市第二中学）