如何对高中数学立体几何问题有效解析

孙俊凡

【内容摘要】立体几何作为高中数学的重要组成部分，同时也是学习的难点，占据高考数学的较高分值，通常考查题目中多个数学板块之间的内在联系。因此作为高中生，想要取得立体几何学习的高效性就要重视运用解题技巧和方法，在实践中不断总结经验，从而做好数学立体几何问题的有效解析。本文结合案例来对立体几何问题进行有效解析，意在激发学生的发散思维，提升解题有效性和正确性。

【关键词】高中数学 有效解析

一、建立空间观念，激发想象力

对于高中数学立体几何的学习来讲，空间想象力是必须具备的能力，从认识和了解平面图形到立体几何图形学习是质的飞跃，从直观到空间，这中间的过程需要凭借学生对立体三维空间的想象能力来完成。教师在教学准备中会自制空间几何模型，并且结合到相关的数学题目来具体讲解反复让学生观察，这对于判断线、面、角之间关系会更加明确化、形象化。总的来讲，由于每个学生自身认知水平和能力的差异性，在学习立体几何有关的问题中也会选择最适合的解题方法，从而在探索中建立相应的空间观念，激发空间想象力，为解决立体几何题目打下坚实的基础。

为有效增强学生的空间立体感，在具体训练中可以选择构建简单的模型帮助想象和联想。比如首先对长方体和正方体有所了解，并对线和面之间的关系让学生进行探究，其次延伸到面与面，最后结合具体的立体几何图形进行拓展延伸，从而有效解题。此外，学生根据题目来描绘立体几何图形的能力要加以培养，保证学生在面临几何问题能够找到突破口，辅助自身想象的支撑点，为切实解决问题创造相应的便利条件。

二、运用函数思想来有效解题

函数思想贯穿于整个高中数学阶段，具体是依靠定量和变量之间的复杂变化关系来对数学问题加以分析、解决。在立体几何问题中，分析其中的数量关系，借助函数思想建立和构造函数关系，并且对抽象的空间关系加以具体化和直观化，最终实现成功解决题目。这对于学生的思维能力具有一定要求，必须具备严谨缜密的逻辑思维能力，全面分析几何问题中的内在关系，尤其要重视对函数关系的建构，以抽丝剥茧的层次渐进方法分离出本质。

在高中数学教材立体几何例题中，就运用到了以函数思想来解决问题的案例：如图1所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，若∠BAC=α，同时PA=PB=2r，求异面直线PB和AC之间的距离。

在题目解析过程中，首先就要对图形中各个线与面的关系加以分析，从而通过给出的图形对异面直线PB和AC的关系就是将直线PB上任何一点到直线AC之间距离的最小值求出，并对题目中的定量和变量建立目标函数关系。首先设定直線PB上任意一点为M，并使得MD和AC垂直于D，同时MH和AB垂直于H，假如MH设为x，同时MH垂直于平面圆O，同时AC和HD垂直。我们可以得出以下等式MD2=x2+[（2r-x）sinα]2=（sin2a+1）x2-4rxsin2α+ 4r2sin2α=（sin2α+1）[x-2rsin2α/（1 +sin2α）]2 + 4r2sin2/（1+sin2α）。

只有当x=2rsin2α/（1+sin2α）时，MD值最小，可以得出异面直线PB和直线AC的距离，这种题目是有着统一的解答类型，主要是对两条异面直线的距离进行转化，向异面直线上两点之间的距离变换，对其最小值进行求解。利用函数的性质关系作为解析方法，因此函数思想常常被运用于立体几何中。

三、发散思维，综合运用多种解题方法

由于立体几何的学习和多种数学模块有联系，因此学生解题思路要打开，从多个角度看给出的题干，不能呈现固定化思维模式。比如将函数、向量、数列等多项知识体系融为一体解决立体几何问题。例如在求解最值问题上，如图2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为3，其中点E存在于棱AA1上，并且已知线段A1E的长度为l，点F是截面A1BD上一个不断移动的点，求解线段AF与EF之间的最小值是多少。思考这一问题，首先通过分析题目我们能够得出要想求解线与线之间的关系就要转化为线与面，点与面的关系。

首先在正方体ABCD-A1B1C1D1内画出虚拟平面CD1B1，明显从图中看出平面A1BD//平面CB1D1，两者是相互平行的关系，因此可以试着连线AC1，产生与平面B1D1C之间的交点设为G，再连接平面BDA1与EG，产生的交点设为F，此时由于GE与A1C1所在的平面平行，因此两天直线存在平行关系，因此能够求出线段AF和FE之间的最小值为GE，并且GE=2A1C1/3=22。从最值问题的求解中，体现出综合解题方法的思想，尤其是学生在学习过程中要积极发散思维，综合运用多种解题技巧找到题目的突破口，更好地完成对立体几何题目的求解，从而促进学生学习效率。

结语

综上所述，立体几何是高中数学的重要模块，在实践解题过程中最常用的就是空间图形解题和函数思想、向量思想解题，从我们对上述的案例解析中发现，高中生一定要具备一定的空间想象能力，找出线与线、线和面之间的具体关系，从而对高中数学立体几何问题进行有效解析。

（作者单位：山东省淄博市博山区实验中学）