割补法在数学解题中的妙用

宋培武

割补法在数学解题中应用广泛.其中的“割”是指对某图形进行分割；“补”是针对某特殊图形的缺失进行补充.“割”与“补”常常是同时发生，有时也单独发生.“割补”的目的是实现数学问题由一般图形向特殊图形、由陌生领域向熟悉领域转化，它是“化归思想”的具体体现.這一思想不仅应用于几何解题，也被迁移到代数解题中.

一、几何题型

（一）只“割”不“补”

例1 在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°A=135°，AD=2，BC=6.

求四边形ABCD的面积.

说明：1.分割：过A点作AE∥BC交CD与E点，过E点作EF∥AB交BC与F点.

2.化归：将不规则四边形（四边形ABCD）的面积问题转化为特殊四边形（矩形ABFE）和特殊三角形（等腰直角△ADE和等腰直角△EFC）面积问题.

3.解法：先求等腰直角△ADE的相关的边和面积，再求矩形ABFE的相关的边和面积，然后再求等腰直角△EFC的面积，最后求四边形ABCD的面积.

（二）只“补”不“割”

仍将上述例题作为问题背景.

说明：1.补缺：延长线段BA，CD交于E点，将不规则四边形补成等腰直角三角形.

2.化归：将不规则四边形的面积计算问题转化为等腰直角三角形的面积计算问题.

3.解法：分别计算等腰直角△ADE和等腰直角△EFC的面积，再做差.

（三）既“割”也“补”

继续以上述例题作为问题背景.

说明：1.割补：在线段BC上取一点F，使FC=2，过F点作FG∥AB交CD与G点.易证△GFC≌△ADE，从而将△GFC“割下”，补在△ADE处.

2.化归：将不规则四边形的面积计算问题转化为直角梯形的面积计算问题.

3.解法：利用梯形的面积公式计算即可.

二、代数题型