圆周及弧的实用精确等分

黄正洪

人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此我曾在CIP为2015185547的《费马大定理的一个初等证明》的《试论作图题的重要性》一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧.故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意.究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里遗留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明.众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘分里开始探索吧，精诚所至必能金石为开.

一、准备一个顶角为60°、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为60°，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移.我们把这样一个圆锥体叫作等分工具锥.

二、准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长.

三、将任意n边形套在等分工具锥上.

四、将一个直径为30、长为200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台.

五、将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意n边形.由圆柱开口刷的加工制作和同軸受力而变形的情形，我们能证得这个任意n边形所处的平面与工具锥底面平行.于是知这个n边形此时已型变为了一个名副其实的圆，从理论上来说，专用细线上的n个等分点已精确的等分了此圆周而产生了n段相等的孤，我们把这个型变为圆的圆叫作等分基准圆.

以上五点是圆周精确等分的理论基础，有了工具锥就有了精确等分圆周的能力.这种能力是有限的，我们可以对其进行具体操作，也是无限的，我们可以将其工作过程中的一部分进行想象操作.此法中的巧妙在于：获得了基准圆上的n个等分点以后，即可做出过这些等分点的圆锥的母线，由于所有母线都可以任意延长，故我们可以将欲等分的圆周定义为任意大.由于延长后所形成的想象棱面三角形与原锥体上的局部剖视的棱面三角形相似，于是可根据相似三角形对应边的比例而求得最终结果.说到这里，我相信您不会怀疑我们能精确等分您所给出的任意直径和任意段数的圆周了吧.我们的结论是：如果您所给的欲等分的圆周是一个实实在在的圆，则可将工具锥沿铅垂轴心线向上平移而将该圆压实在圆柱开口刷下，由于已做出了基准圆周的所有等分点的母线，故欲求圆环与母线的所有交点即为所求；如果您给出的圆周是非实物的（即只已知圆心和直径），则可将此直径作为半径，以锥顶点作为圆心画弧，其弧同时交两相邻母线于两点，连接此两点，则此两点之长即为欲求圆周的内接正n边形的边长，而此正n边形的所有角点即为所求；如果您给出的欲等分圆周大于了圆锥的任何圆截面，则将其中相邻两条母线延长使其与欲等分圆周的直径相等，连接此两延长线的端点，则此两端点之长即为欲等分圆周的内接正n边形的边长，而此n边形的所有角点即为欲等分圆周的n个等分点.下面我们来看工程实例.

例1 福建永定有修建围屋的传统，为了防范倭寇入侵，村民将围屋的出入口巧妙地安排在中央公共用地的地下秘道之中，而围屋则围环而建，其形与铁桶相似，这样的建筑进可攻、退可守，敌人根本进不来.当年工匠们要将外围直径100米，内围直径80米的同心圆环内的土地均匀地分配给49个家庭建房.将怎么样来分配这些土地呢？这里我将工匠们当时的操作过程简述如下：

1.用专用细线制成一个边长相等的任意49边形，将这个49边形套在等分工具锥上.

2.将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷被动受力而压实了专用细线任意49边形，于是此49边形变成一个平行于锥底的基准圆，而细线上的49个等分点则成为基准圆周的等分点.

3.作相邻两等分点的母线，并将其延伸（这个延伸的工作也可移到平地上进行，如果场地有限的话还可想办法分段进行），使其长度刚好等于内圆直径80米，连接此无形圆锥的相邻母线上的有型两个端点，则两个端点的连线之长即为同心内圆的内接正49边形的边长，将所有过此49边形顶角位置的半径延长到与大圆相交，则所有49段环块即为所求（其证明过程留给同学们自行思考）.

工人师傅们把“3”的工作过程叫作放大样，放大样在各种不同情况下都可能会用到，但有平面几何知识的工人师傅马上会想到这一结果也可用数学的方法求得.譬如就此例而言.我们沿工具锥两相邻母线作局部剖就会看到正n棱锥的一个三角形棱面，此棱面三边之长都为已知，由于延长的边也为已知，则根据相似三角形的相似比而可求得结果.即：工具锥母线长比延长锥母线长=基准圆等分弧的弦长比欲求圆等分弧的弦长（其中延长锥母线长即为欲求圆直径）.不过如此求解的结果有的可能难于画出，还不如放大样这种实用画图来得实在.但放大样若太大，则过程就会繁杂，此时就只好采用计算的方法.总之此一圆周的等分很是实用，也很精确，我们要熟记之.在工程实践中还有许多其他等分方法可用，留给同学们自己去发现.有道是技艺一通则百通，我们既然明白了利用工具锥能全面地解决圆周的精确等分问题，那么弧的实用精确等分问题也就不在话下了，或者说在前述等分方法下，我们就有了拓展的思路和方案的启迪.

例2 已知有一大片扇形的薄铁板，工程需要要将其分成形状完全相同的7片，用以来加工碎草农机的7个叶片.面对这样的一个问题，我们的工人师傅有一种传统且实用的精确等分方法.这里我将这一操作过程整理如下，请诸君指正：

1.在纸上画一条适当长的直线.

2.在扇形薄铁板的弧边上漆上红色印泥.

3.从弧边的一个端点开始沿直线向前滚动，滚动到弧边的另一个端点为止，此时在纸的直线上留下了红线印记，显然此红线即为扇形薄铁板的弧边的实长线.

4.用尺规作图的方法将此红线分作7等分，并将此7等分点一一做出明显标记.

5.按第一次滚动的方式，端点对端点，第二次滚动扇形薄铁板的弧边，这次是沿红线方向前进，现在我们可在扇形薄铁板的弧边上一一标记下红线上的7个等分点.

6.作扇形顶点与这些等分点的连接线，则扇形薄铁板被分成形状完全相同的7片（其证明过程留给同学们自行思考）.

我们的工人师傅把这个工作过程叫作印记法.“印记法”在各种不同情况下都有可能会要用到，当然此法在很多情况下同样也可借助数学的方法求得，但其精准欠佳，故工人师傅常喜欢直接用印记法求对应的点、线、面.总之“印记法”和“放大样”是工程领域中的常用之法，是实用精确n等分圆周和弧的不可或缺的方法，这些方法虽无资料可查，却在工厂师徒之间代代口口相传，我们不可小视之.我之所以要郑重其事地撰写此文，也是想要求得大家对这种实用等分过程的理解和认同，去有益于我们今后的生产实践.我盼念诸君在审阅过此文之后，能为我们学专业技术的学生、为我们爱动手和动脑的学生去做细心演示和倾情引领，我想这为学生们心中的科学之门的开启不无助益，也许您的兴致所至，会使我们的学生、我们的子女爱上平面几何，爱上立体几何、爱上工程设计，而成为优秀的专门人才.因为我知道，在这样一个比较独特的学习园地里，我们学生求知的信心是建立在科学操作的基础上，而科学操作的能力是发芽于长期的实习教学之中，对此教学情结我有着深刻的感受.记得我曾在实习教学时期表彰过一个对上述习题提供了另一种解题途径的学生.由于她的方法很有特色，我至今记忆犹新.现叙述如下：

1.将扇形薄铁板卷起，使两根边母线重合而形成一个顶角不知为几何的圆锥（如果薄铁板卷不动，可改在一同型纸上进行）.

2.将边长相等任意7细线边形套在此圆锥之上，并使其在圆柱开口刷的轴线下作同轴上升平移.此时细线边形变成了一个平行于锥底圆的基准圆，细线上的7个等分点变成圆周上的7个等分点.

3.过这些等分点作圆锥的7根母线.则形状完全相同的7片薄铁板可沿这些母线剪出（其证明过程留给同学们自行思考）.

该学生在吃透“例1”之巧后，由平面出发去建立起立体模型来解题，这是逆向思维下举一反三的神来一笔.如此别出心裁的解题思路，如此清晰高明的解题技巧，真叫人佩服.我虽为人师，愿从其而学.让我们师生且思且想且写且做而共同努力吧.我愿无拘无束、海阔天空的想象力在我们学生的脑海里自由驰骋.我愿学生们在良好的环境下，在教师和家长的关爱之中，學业有成而终成国之大器.