例析数形结合在高中数学解题中的应用
2018-01-02袁奋华
袁奋华
【摘要】数形结合思想是重要的数学研究方法，是代数与几何知识相联系的体现.通过数形结合思想的使用，可以起到化繁为简、化难为易的目的.本文从方程、不等式及解析几何这三方面出发，对数形结合思想在数学教学中的应用展开讨论.
【关键词】高中数学；数形结合；教学应用
“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非”，这句话出自我国当代数学家华罗庚.他形象客观的阐释了数与形的关系，成功地将抽象的代数关系转化为具体的几何关系；同样的，将复杂的几何关系转换为代数关系，利用代数规律实现求解.在高中数学教学中蕴含着众多的数学思想，数形结合思想作为最基础的数学思想，有着重要的应用价值.
一、数形结合在方程中的应用
在方程求解过程中，我们常常会遇到一些特殊组合，例如，某些方程常常会涉及三角函数、指数函数、对数函数及绝对值函数等，这些方程的求解往往较为特殊，也给学生们带来了一定的困扰.尤其是对绝对值方程而言，若是采用通常的代数手段进行求解，需要面临分类讨论的烦琐计算，且容易造成学生思路混乱，降低求解准确率.但若是利用图形语言，将绝对值函数图形化，那么原本的方程求解问题就变成了简单的看图说话了.
例1 已知方程|x2-1|=k+1，试求该方程解得个数与k值的关系.
分析 针对含有绝对值的方程，需要讨论绝对值部分在大于零、小于零及等于零这三种情况，对各类情况还需要进行计算分析，最后综合上述条件才能得到最终的结论.但我们若是将方程问题视为两个函数图像的交点问题，那么计算分析就简单多了.在本例中即是将等式两边视为两个函数，在坐标系中研究其函数图像的交点问题.
解析 已知方程|x2-1|=k+1，设y1=|x2-1|、y2=k+1.至此，方程解的问题就转化成了函数图像交点的问题.于是，我们将上两个函数图像绘制在坐标系中，得到其关系图形如右所示，此时该题目就变成了简单地看图说话了.（1）当k<-1时，两函数图像无交点，即原方程无解；（2）当k=-1时，两图像存在两个交点，即原方程有两个解；（3）当-1
二、数形结合在不等式中的应用
坐标轴作为数形结合的纽带，可以有效地将数与形相结合，利用函数图像鲜明的反映代数关系.在某种程度上，函数、方程及不等式都是相互联系的，这三者可以互相转换.与数形结合思想在方程中的应用相似，在不等式中依然是依靠函数进行转换，将不等式关系转换成函数关系.在实际求解过程中，我们同样可以利用函数知识进行导入，逐渐向不等式上靠拢.通过对“求根公式法”及“图像法”在不等式求解中的比较，最终引出更为简单直观的数形结合法.
例2 已知实数x、y满足关系式x2+（y-1）2=1，此时，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，试问实数c的取值范围是什么？
分析 从已知信息可以看出，本题涉及二元二次函数及二元一次不等式，若是单纯从代数的角度寻求解题必然需要面临烦琐的计算分析，还有可能算不出来.但若是从数形结合的角度出发，将两实数满足的关系式视为二次函数，将不等式转换为一次函数，利用函数图像的性质，便可以实现顺利求解.
解析 由实数x、y满足关系式x2+（y-1）2=1可知，点（x，y）在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上.当该点在圆轨迹上运动时，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，即动点恒在直线y=-x-c的上方.此时，绘制出该题的示意图，利用图形语言进行分析.如上图所示，当该直线与圆相切，且切点在B点时取到线段OA的最小值.其中-c值代表的是直线与纵坐标交点的位置.利用已有图形信息可知，当切点位于B点时，|OA|min=2-1，即c值应≥2-1，故B选项即是正确选项.
三、数形结合思想在解析几何中的应用
解析几何是高中数学知识中数形结合思想应用的典范，尤其是涉及直线、圆、抛物线、双曲线等复杂的解几问题时，数形结合思想的使用是必不可少的.在解析几何的考题中，有时不会为学生提供现成的分析图形，需要学生自己绘制，在考查几何知识的同时，也训练了学生的绘图能力.尤其是遇到复杂类的组合区域问题时，需要首先绘制出组合区域的示意图，利用图形辅助分析几何概念.
例3 已知圆C位于直线x=3与抛物线y2=2x围成的区域内，试问圆C所能取到的最大半径值是多少？
分析 本题属于数形结合思想在解析几何中的应用，考查了圆、直线、抛物线及函数最值问题，是一道综合性解析几何题.此时，欲使圆C半径取得最大值，圆心应在x轴上，且应同时与直线和抛物线相切.因此，我们需要设参数，表示出圆方程.
解析 设圆的半径为r，即可得到圆方程的表达式为（x+r-3）2+y2=r2.利用取最值条件时，圆与直线和抛物线同时相切，可知切点也应同时满足抛物线方程，即满足y2=2x.于是将上两式联立得到关系式x2+2（r-2）x+9-6r=0.利用相切关系，结合根的判别式得到Δ=[2（r-2）2]-4（9-6R）=0.结合r>0，分析得到rmax=6-1.
总之，通过数形结合思想的使用，有效地将抽象与具体相结合，巧妙地避开了代数计算的抽象和几何分析的复杂，将解题过程实现了简单化.当然，数形结合的使用远不止本文提到的這几类.我们教师应该在日常教学中着眼于数与形的关系发掘，利用数形结合的优势，提高学生分析问题、解决问题的能力.
