数学难点教学之我见

周忠武

【摘要】首先，本文对当前数学教学中对数学难点教学处理中存在的两种“极端方式”及其弊端进行分析；然后，结合两个具体案例对这两种方式存在的不合理因素加以说明；最后，对数学教学难点的教学给出几点具体的实施建议.

【关键词】数学教学；难点；思维发展；认知障碍

一、数学教学难点

数学教学的难点一般是指学生不易理解和接受的知识，或不易掌握的技能技巧，其本质是数学任务的加工认知障碍.按照维果斯基“最近发展区”理论分析，如果学生已有发展水平与教学要求之间的矛盾比较突出，这时的教学要求就成为教学的难点.[1]

在维果斯基提出的“最近发展区”理论中指出：学生的发展水平有现有水平和潜在水平两种水平，两种水平之间的差距就是学生的最近发展区，同时维果斯基还指出这个差距是动态的.所以，我们的教学要以“最近发展区”为基础，走在学生发展的前面，设置适当的认知障碍，使学生在通过自己主动努力的探索后，达到认知发展的潜在水平，从而发展学生数学思维水平，培养学生数学能力.

然而在当前的数学教育中，数学教师处理数学难点的方式方法却逐渐地走向了两个极端，其一是视而不見，其二是过度弱化数学难点.两种极端都会产生不良影响，下面笔者就针对这两种极端谈谈自己的观点.

第一，教学中不重视数学难点，对数学难点视而不见，没有引导学生自主地突破数学难点的意识，甚至不相信学生具备解决难点的能力.于是采用一种极其野蛮的方式——视而不见，跳过数学难点的讲解，最后学生在数学难点面前只知其然，而不知其所以然.学生不知道该如何去思考解决问题的方法，思维无法锻炼，能力难以提升，久而久之则更容易造成难点积少成多，以至于在后继的学习中困难重重.

第二，教学中过度追求简单，教师以自己的方式将难点化简切碎了，再将化简之后的现成的数学知识与技能用平淡的方式“喂”给学生，学生最后轻易地“掌握”了被教师切碎后的“难点”，这一过程看似达到了学生理解该知识难点的目标，实则忽视了学生自身思维的发展以及在数学学习中的主体地位，能力同样无法提升.学生在完成学习任务后仍处于原有的数学能力水平，长此以往更容易使学生产生思维和学习的惰性和依赖性.

在笔者看来，首先，难点是区分学生学习成绩差异的分水岭，是提升学生数学思维水平和发展想象力、创造力的机遇.作为教师，我们不能忽视难点对学生学习和发展的重要性.此外，难点也是影响课堂教学的有效性的关键因素之一，在数学难点的教学中，应该充分尊重学生的主体地位，尽可能地引导学生进行自主探索，突破知识点障碍，而不是用教师自身的思维代替学生的思维.下面笔者分别以一道数学练习和一个数学概念为例，试着对数学难点进行分析.

二、例谈数学习题教学中的难点教学

教师在如此给出这道问题的解答过程后，偶尔还会重点强调一下，我们在数学解题的时候对代数式进行加一个数和减一个数是常用的技巧之类的话语.至于为什么在整个式子前面先要加“1”，然后再减“1”？为什么加和减的数字是1，而不是其他数字？教师不做过多讲解，甚至无法讲解.整个教学环节看似教师达到了解决问题、突破难点的目标，学生似乎也在为学会了一种新的解决问题的技巧和套路而惊喜.但是我们回过头来细想，在整个教学环节结束后，学生到底学到了什么？教师是否真正有效启发了学生的思维？学生的思维能力真正得到了提高吗？是否真正让学生的“最近发展区”得到发展？

我们都知道数学解题教学的难点在于对解题思路的探寻，但是上述教学环节对解题思路的探索过程却被蜻蜓点水般的一带而过，教师甚至强行将自己的思维习惯施加在学生的意识中.的确，如此讲解例题可能不会引起学生质疑这种方法的科学性.但是学生心中那隐约存在的疑惑：“为什么要这样做？我怎么就想不到这种方法？”这些最能提升学生思维能力的教学资源却被教师的教学忽略了.直接传授解题模型和套路，看似学生达到了“举一反三”的水平，实则是“举三反一”，如此简单粗暴地对难点视而不见，学生的数学能力其实并未得到提高.

在笔者看来，我们对该题的讲解不妨从数学自身发展史这个角度去思考我们的教学.我们知道几乎所有的数学知识（虽然不是全部知识，但至少是重要的知识）都是由猜想开始然后经过证明或反驳而构成的.数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史.猜想有时由反例否定，有时由新理论给予肯定的证明.[2]面对这道题大多数学生最初都处于一筹莫展的状态，于是我们可以引导学生进行尝试和猜想.如何尝试？如何猜想？如何发现？我们认识事物往往是由事物的部分估计事物的整体，这就是数学思想方法中的归纳推理.东北师范大学史宁中老师也曾经说过：“就人对世界的认识而言，归纳推理是一种比演绎推理更为‘自然的思维模式.”[3]

于是，首先考虑特殊的情况，从特殊到一般，当n=1时，我们可以得出f（1）=1，然后继续尝试可以得到f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719，于是这道题就转化成了一道找1，5，23，119，719，…这些数字规律的数学练习题.或许学生独自面对这些数字，难以找出规律，但是我们可以发挥学生集体的智慧，让学生之间相互讨论，产生思想的交流和碰撞.高中的学生在经历多次小学和初中找数字规律的训练经验基础上，会有部分思维活跃的学生知道2，6，24，120，720，…这些数字满足n！的规律，不难得出答案的猜想应该为（n+1）n！-1.

得出猜想后，如果要使得猜想成立就必须验证猜想是否成立，是否有意义.我们都知道归纳推理有助于学生发现知识，而演绎推理有助于验证知识.先通过归纳推理发现命题，再通过演绎推理验证命题，也符合数学的历史发展.那么接下来的问题就是引导学生运用演绎推理去证明这个猜想，即证明1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！-1，从分析法的角度出发，学生应该很自觉地想到把等号右边的“1”转移到等号左边，这就是我们之前为什么要先加“1”后减“1”以及加的数字为什么是“1”的原因，接下来让学生自行证明1+1+2·2！+3·3！+…+n·n！=（n+1）·n！也不是一件难事.在问题解决后，教师不妨再引导将利用答案f（n）=（n+1）n！-1验算f（1）=1，f（2）=5，f（3）=23，f（4）=119，f（5）=719或者将n赋予其他的值.这样我们的思维又变成了从一般转回到了特殊的过程.如此还可以教育学生用辩证的眼光看数学，看世间事物.

上述教学环节的设计，不仅调动了学生思维的主动性和积极性，更让学生掌握了探索知识的基本思维过程，即尝试、归纳、猜想、验证.因此，从这个角度看，我们数学教师有必要学习有关猜想和发现的规律，掌握正确的猜想、发现和证明的基本方法.

三、例谈数学知识教学中的难点教学

下面我们再以函数的单调性的概念教学为例谈谈数学难点的教学.函数的单调性概念的本质主要有两个方面——“形”的变化和“数”的表达，整个概念的教学体现了数学抽象从现实到数学的过程，前者为数学抽象的第一阶段，即基于现实到数学概念的抽象，是从感性具体上升到理性具体思维的过程；后者为数学抽象的第二阶段，即基于数学逻辑的抽象，它使我们的数学概念符号化、形式化和公理化，这是从理性具体到理性一般的过程.第一次抽象体现数学的本质，第二次抽象体现数学的严谨.笔者听过许多教师和师范生教学函数的单调性的概念时都或多或少存在一些问题.

首先，在函數单调性“形”的变化上，从函数图像抽象出单调性的本质“y随x的增大而增大（或减小）”的教学过程中，根据皮亚杰的认知发展阶段论来说，高中生已经具备了一定的经验型逻辑运算能力，能用自己的语言描述一个量随另一个量的变化趋势，也就是说学生已经具备独立完成从感性具体到理性具体的过渡能力，能抽象出函数单调性变化趋势的本质；而且高中生对这一性质并不陌生，在初中学生们都已经涉及这一变化特性.所以，这一“难点”对学生来说并没多大障碍.然而，随着现代教育工具的快速发展，许多教师过分追求教育工具对课堂教学带来的美化效果，这就使得这一“难点”过分直观化和形象化，以此来彰显自己的“教学艺术”和计算机操作水平.其结果看似减轻学生思维负担，突破学生思维障碍，却无形之中剥夺了学生展开思维想象的机会.

多媒体和实体演示虽能帮助学生思考，看似降低了认知难度，但同时也代替了学生思考，无形之中占用了学生独立思考自身通过努力能解决问题的资源和机遇，整个概念的抽象概括过程完全被教师和教师的教学工具所包办，数学难点的价值也丧失殆尽.心理学研究也表明：过分地依赖直观形象材料，把一切抽象问题都形象化，不利于学生思维从抽象到具体的，从感性到理性的过渡.

其次，我们都知道高中函数单调性最大的难点在于把概念本质“y随x的增大而增大（或减小）”用严谨的数学语言和符号描述的过程，即数学的第二次抽象过程.然而，笔者观摩大量公开课发现，大多数教师都把这一难点所经历的障碍全给学生铺平，学生不费吹灰之力地跟着教师的思维完成了这个概念的形成过程.这种方式固然使学生认识函数单调性，然而在整个过程中学生没有主动参与和经历数学形成过程，也没有体验整个数学形成过程中的各种情感.最后也只是单纯地掌握了单调性的定义，增长了数学知识.至于学生的数学能力，仍然停留在原有的基础上.

《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》中在以前的基础上再次提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.在实际教学中，如果我们能让学生自己去探究，适当地留下难点“空白”让学生去探索发现突破，经历数学知识形成过程中的各个阶段和情感，那么笔者相信学生不仅在数学知识上得到提升增长，更能使数学能力得到锻炼，还能感受来自数学学习探索过程中不同的数学情感，培养学生不屈不挠、敢于克服困难的生活态度.

四、数学难点教学的建议

在笔者看来，数学难点教学中不仅要考虑突破难点的方法，更重要的是考虑到突破难点的效果.所以，笔者试着对数学难点的教学提出如下建议与读者共勉.

（一）重视难点，正视难点

数学难点经常出现在数学知识综合、思想方法丰富的地方，所以数学教学中合理引导学生突破难点是提升学生思维能力的契机.教师应该把数学难点视为锻炼学生思维、培养学生能力、提升学生“最近发展区”的不可多得的资源来看待.

（二）学生主体，教师引导

教师必须要突出学生在难点探究中的主体地位，不轻易揭示方法和答案，给学生提供充分的思考时间和空间.教师也需要在学生已有的认知基础上，适当地设置障碍，对难点适当引导，让学生自己去发现.

（三）把握时机，循序渐进

《普通高中数学课程标准（实验）》要求：“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程.”[4]孔子也曾经说过：“不愤不启，不悱不发.”所以，教师不要急于越位“开讲”，化解难点，使学生轻易突破；应将难点留给学生，让学生进行自主探究，把握学生兴趣产生时的最佳动机，待到学生思维无法前行时，再适度引导、点拨，形成有效迁移.

【参考文献】

[1]韩飞.高中数学概念教学难点突破的路径[J].中学课程辅导：教师教育，2015（8）：30.

[2]吴东兴.数学猜想与归纳[J].江西教育学院学报，1985（2）：30-32.

[3]史宁中.数学思想概论·第4辑·数学中的归纳推理[M].长春：东北师范大学出版社，2015.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.