等候线问题数学模拟研究

程卫

【摘要】排队论是研究服务系统中排队现象随机规律的科学，银行决策服务网点ATM台数是典型的排队论问题.针对服务时间和达到时间概率分布数据不足的现实问题，本文利用有限统计数据，假定服务时间正态分布、间隔时间均匀分布，利用排队理论进行模拟计算，以期为银行决策提供建议.

【关键词】排队论；概率分布；数学模拟；逻辑判断

一、引 言

日常生活中存在大量有形和无形的排队现象，它是数学运筹学的分支学科，也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科.排队论（queuing theory），或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优.排队论广泛应用于计算机网络，生产，运输，库存等各项资源共享的随机服务系统.排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题[1]-[2].

随着社会经济的发展和技术的进步，银行自动存取款机（ATM）逐渐成为银行服务的主要形式.某国有商业银行计划在全市内拓展布点ATM，银行需要决策某网点ATM台数，决策平衡要素包括ATM的使用率、平均等待时间等.

传统的排队论计算，基础条件是需要有到达时间和服务时间的概率分布和参数估计[3].受统计数据不足的影响，本文基于有限的统计数据进行数学模拟，以期对银行决策提供建议.

二、数学模型

（一）模型说明

等候线问题模型整体结构是一个循环模型，在单节循环内部是一个逻辑选择模型.模型的主要参数是时间，时间作为单向矢量来表达，起始时间为0，其他时间按先后顺序增加[4].

逻辑判断模型是下一位达到时间是否大于（晚于）上一位完成时间，大于或等于上一位完成时间则不需要等候，下一位开始服务时间等于其到达时间；小于则需要等候，下一位开始服务时间等于上一位完成时间.

完成时间等于开始时间加上服务时间（标量），完成时间作为循环模型中下一位到达时间的比较时间.

循环模拟中，有两个概率输入量，时间表达为标量，一是顾客到达时间间隔，二是顾客服务时间.

（二）数学模型

数学模型的逻辑判断结构和循环结构都是基本结构.本文以Excel模拟计算的模型进行表达.在Excel中，逻辑判断函数表达为：IF（到达时间>完成时间，达到时间，完成时间），用来判断开始服务时间.

如表1所示，假设模拟的开始时间是0.顾客1的间隔时间是概率随机值3.1分，这个时间是标量，大小只代表时间长短，不代表时间早晚.到达时间是间隔时间的和，顾客1的到达时间是3.1分，这个时间是矢量，大小表达时间的早晚，可以进行对比.

开始服务时间需要逻辑判断，顾客1的到达时间大于完成时间（第0个顾客假设时间为0），则开始服务时间等于达到时间，逻辑判断后直接计算.等待时间是开始服务时间与到达时间的差值，为标量时间.服务时间也是个概率值，顾客1是1.6分，为标量时间.完成时间是矢量，是开始服务时间与服务时间的和.系统时间也是标量，为完成时间与到达时间的差值.

同上，第二位顾客到达时间是3.6分，第一个顾客的完成时间即4.7分，邏辑判断是到达时间小于完成时间，则开始服务时间是第一个顾客完成时间.

机1可用时间与机2可用时间的确定，初始阶段（第一位顾客），机1可用时间就是完成时间，机2可用时间是0，第二位顾客，机1可用时间是逻辑判断：IF（第一位顾客结束时机1可用时间>第一位顾客结束时机2可用时间，第一位顾客结束时机1可用时间，第二位顾客完成时间）；机2可用时间是逻辑判断：IF（第一位顾客结束时机1可用时间>第一位顾客结束时机2可用时间，第二位顾客完成时间，第二位顾客结束时机1可用时间）[5].

三、案例分析

（一）数据收集与分析

1.服务时间

服务时间是顾客在利用ATM进行机上操作的时间.大量的ATM机利用数据显示，服务时间服从正态分布，其均值是2，标准差为0.5.

2.间隔时间

间隔时间是前后两个顾客到达的间隔时间.间隔时间受潜在顾客数量限制，统计数据显示最小时间是0，最大时间是5，均匀分布.

（二）模拟结果

为了确保稳态计算中不包含初始条件，通常在指定的时间内运行动态模拟模型，而不收集任何相关信息.本文参考其他文献，把前100个客户作为初始阶段，数据统计只统计稳定运行的剩下数据，本文统计剩下900名顾客.

从模拟结果看，在只有一台ATM机器时，等待人数是552人，平均等待时间是1.62分钟，ATM使用率是78%.而二台ATM机器的情况下，等待人数只有71人，平均等待时间是0.08分钟，ATM使用率是41%.

（三）银行决策

银行决定某网点ATM台数的决策要素包括等待概率、ATM的使用率、等待时间大于1分钟概率三个无量纲参数.决策权重为1∶3∶1，通过计算，本文建议银行选择2台ATM.

四、结 论

服务时间正态分布、间隔时间均匀分布，利用排队理论进行模拟计算.前100个客户作为初始阶段，模拟900名顾客作为稳定运行数据.分一台ATM、二台ATM两种情况进行模拟，根据决策权重，最终选择设立2台ATM.

【参考文献】

[1]罗利春.排队论的局限与排队模拟的数学本质[J].中国空间科学技术，1994（6）：11-16

[2]崔尧，宋瑞敏.排队论在银行智能排队管理中的应用研究[J].科技通报，2014（1）：123-126，130.

[3]蔡文婧，葛连升.基于排队论的银行业务窗口设置优化[J].山东大学学报（工学版），2013（3）：23-29.

[4]柴洪，马竹书.基于蒙特卡罗模拟法的工程项目财务风险评估[J].项目管理技术，2012（11）：79-82.

[5]安德森，斯威尼.数据、模型与决策[M].北京：机械工业出版社，2015：339-375.endprint