从具象到抽象：赋予儿童思维自然生长的力量

张明华

摘 要：具象思维是学生独特的思维方式。在数学教学中，教师要充分运用学生的具象思维，包括实物具象、替代物具象、图形具象以及符号具象等。借助于具象，能够将隐性的数学知识变成显性，将无形的数学思想变得有形，将抽象的数学知识变得直观，将复杂的数量关系变得简单。从具象到抽象，能够赋予儿童思维自然生长的力量。

关键词：具象思维；抽象思维；自然生长

儿童数学思维是感性、具体的。在数学教学中，教师要充分运用具象材料，引导儿童在头脑中形成表象，逐步抽象，进而形成儿童思维自然生长的力量。所谓“具象”，是指“具体的形象”（参见《现代汉语词典》2015年第6版），所谓“具象思维”，是指借助具体的物象、具体的形象而展开的思维。具象给了儿童数学思维有力的支撑，能够让儿童的数学思维软着陆。

一、借助“实物具象”，化隐性为显性

所谓“实物具象”，是指借助实物材料而进行的思维活动，这里的实物材料包括一切实物形态的学具、教具和其他用具。由于实物具象具有可观可感的特性，因此能够将问题中隐性的数学特征彰显出来。教学中，教师要巧妙地运用实物教具、学具，或者进行直观演示，或者引导学生主动操作、构建、运演、判别，进而有效地夯实学生的思维根基。实物具象是学生数学思维的重要媒介，它既不是表象，也不是言语符号，而是一种感知本身。教学中教师要引导学生开发实物具象资源。

例如教学《三角形的面积》（苏教版小学数学教材第9册），学生对于“等底等高”或者“同底等高”的三角形面积相等难以理解。为此，笔者让学生拿出钉子板学具，用橡皮筋围成了一个底是7，高是4的三角形，学生计算出三角形面积为14。在此基础上，笔者让学生拉着三角形的顶点不断向右移动1格、2格、3格……学生刚开始仍然动笔计算。当算了三个三角形的面积后，学生不再计算而是直接报出了答案。这时，有学生说，只要三角形的顶点在一条直线上移动，三角形的面积就相等；有学生说，不仅三角形的顶点要在同一条直线上移动，而且三角形的底边要保持不变等。这时，笔者启发学生，“这些三角形的顶点在同一条直线上移动，三角形的底边保持不变，谁能用数学语言概括一下？”学生渐渐地悟出了原来三角形的面积相等是因为三角形同底等高或者等底等高。并且学生直观地看到，同底等高或者等底等高的三角形因为倾斜度不同而有无数个。

教师借助学生结构性学具，通过学生的操作和教师的点拨、追问，展开主动观察、思考、表达。学生在三角形的形状变化中直观感受到三角形的底和高没有变化，因此三角形的面积不变。学生将具体学习素材内化为头脑中的表象，主动将三角形的底和高这两个元素从三角形中凸显、剥离出来，由此领悟到尽管三角形的形状在不断变化，但三角形的底、三角形的高以及三角形的面积却保持不变。借助学具操作，学生的数学理解得到深化。

二、借助“替代物具象”，化抽象为直观

如上所述，在数学教学中，借助实物具象能够助推学生的数学理解。但在教学实践中我们发现，并不是任何知识点都可以在生活中找到相应的材料、相应的实物。很多时候，我们还必须借助“替代物”，运用“替代物具象”发展学生的“具象思维”，是具象教学的又一方式。借助“替代物具象”，能够为相关的数学概念提供生动的表征、例证，进而拓宽学生的问题理解、问题解决通路，引导学生跨越从具象到抽象的思维障碍，让学生感受到数学学习的乐趣，抵达概念形成的酣畅之境。

例如教学《认识平行》（苏教版小学数学教材第8册），一般教师教学时总是借助教室的墙壁，让学生理解“同一平面”的概念。但是由于教室的墙壁是已成之物，因此学生只能感受到两条在同一平面内直线的平行，而对于两条异面直线，学生难以理解既不平行也不相交的内在道理。究其根本，是因为学生没有通过两条直线成功或者失败建构一个可能存在的平面。在教学中，笔者借助魔方，做了一个“替代物具象”的对比实验，让学生在两个魔方的一个面上分别画出两条平行线，这两条平行线中的一条直线画在魔方上面的三个棱块上，另一条直线画在下面的三个棱块上。然后将其中一个魔方的一条直线所在的三个棱块所在的另一个面按照同一个方向旋转两个90°，将另一个魔方中的一条直线所在的三个棱块所在的另一个面先按照一個方向旋转90°，再按照另一个方向旋转90°。接着分别让学生判断魔方中原来两条平行的直线现在是否平行。就在学生犹疑不决时，笔者手拿两张卡片，让学生分别插入两条直线所在的面。孩子们发现，按照同一个方向旋转90°的两条直线可以插入卡片，而先按照一个方向旋转90°再按照另一个方向旋转90°的魔方的两条直线不能插入卡片。由此，学生理解了平行、相交、既不平行也不相交的直线的位置关系。

在学生的数学学习中，教师首先要鼓励学生运用自己的方式来展开探究。在学生百思不得其解，想尽办法都得不出结论的时候，教师可以借助“替代物具象”，引导学生走出思维的沼泽地，帮助学生进行思维突围，让学生突破思维障碍，摆脱思维定式、思维惯习，如此，往往会起到柳暗花明的效果。

三、借助“图形具象”，化无形为有形

图形是数学中最常见、最普遍的具象材料，借助图形、以形助数是数学教学常用的手段、方法。在数学学习过程中，学生借助图形，不仅可以较好地理解数学知识的本质，促进自我思维的发展，而且还能探析未知的真理，开垦未知的疆域。许多隐性、无形的数学思想方法往往能够在“图形具象”下，化无形为有形，化抽象为具体、直观。借助图形具象，学生的问题解决思路更为简便、更为巧妙、更为明晰。

例如教学《平移和旋转》（苏教版小学数学教材第5册），一位教师巧妙地让学生在数轴图上原点的右方平移点，学生惊奇地发现，往右移，用加法，往左移用减法；越往右移数越大，越往左移数越小；往右跳，用乘法，往左跳，用除法等。加减乘除四则运算竟然都可以通过平移数轴上的点得到。不仅如此，这位教师还让学生借助平移，自主推导“1-3”“1-5”等算式的结果。尽管学生从数轴原点向左平移时有点犹疑，但他们借助先前的操作经验，还是果断地将点向原点的左边移动。其中，个别数学知识丰富的学生喊道，可以得到负二、负四。尽管学生还没有负数的概念，但借助数轴向原点的左方平移点，已经在学生的内心深处种下了懵懂的负数种子。endprint

“数形结合百般好，隔离分家万事休。”（华罗庚语）抽象、繁杂的数学公式、定理等让学生内心生厌，而借助图形进行具象，则可以将无形的数学知识变得有形。“一图抵百语”，图形具象，不仅能够让学生将无形的数理、算理有形地表示出来，而且更为重要的是，图形具象能够发展学生的几何直观能力，实现图文互补、图数互释，并且“图、文、数”共同作用于学生的视觉器官，通过视觉影响学生，这正是数学教学的基本路径。通过视觉思维，学生对数学知识的理解能够达到炉火纯青的境界。

四、借助“符号具象”，化复杂为简单

学生能够用数学语言说话、说数学话，能够借助数学符号进行思考、探究是数学教学的终极归宿。作为一种抽象化的具象材料，数学符号是学生进行数学学习的有效载体。从某种意义上说，学生学习数学的过程就是符号化的过程。借助符号具象，能够将数学问题化复杂为简单，进而培养学生的抽象、概括思维能力和数学符号感。

例如教学《三位数乘两位数》（苏教版小学数学教材第8册），有这样一道题：一道两位数乘两位数的乘法算式，其中一个乘数是29。把两个乘数和乘得的积相加得839。另一个乘数是多少？学生初遇这样的问题，不知道从哪里开始思考，用什么来进行思考。显然，用文字语言来表述比较复杂。基于此，笔者引导学生借助符号来表示题中的条件和问题。

师：同学们，在这个问题中，我们已经知晓了哪些条件？

生1：题目中已经告诉我们一个乘数，却不知道另一个乘数。

生2：也不知道两个乘数的乘积。

师：这两个未知条件之间有没有什么关联呢？

生沉默片刻。

生3（兴奋地发现）：这个乘积应该是另一个乘数的29倍。

师（追问）：为什么？

生3：因为一个乘数是29。

师：如果我们把一个乘数看成符号a的话，乘积可以怎样表示呢？

生4：29×a。

師：现在，你能用含有字母的式子表示839吗？

生5：29+a+29×a=839。

……

在上述教学片段中，学生借助具象化的符号a，抓住问题中的关键词进行提取、讲解，将复杂的问题、复杂的数量关系简约地表示出来。学生在运用具象符号进行问题表征的过程中，积累了运用符号解决问题的经验，发展了符号意识，增强了符号感。

“具象”作为一种教学方式，无论是实物具象、替代物具象还是图形具象、符号具象，都能促进学生的思维发展。通过具象思维，遵循学生从“具象”到“形象”再到“抽象”的学习心理规律，引导学生实现从感性到理性的跨越，从具象到抽象的提升。这是数学教学的应然追求，也是儿童思维发展的现实路径。通过具象思维，学生能够获得积极的情感体验，学生的思维品质与个体精神生命将获得同步成长。endprint