放缩法的若干方式

苑明昊

(河北省唐山市第二中学 063000)

放缩法的若干方式

苑明昊

(河北省唐山市第二中学 063000)

求解不等式问题，方法多种多样，对数学解题能力要求高，难度大.而在诸多方法中，放缩法显得更为新颖灵活，不易掌握.为此，本文就放缩法中的若干思维方向分类总结，并举例加以说明.这对提高同学们的解题能力很有借鉴作用.

放缩法；利用

在求解最值、取值范围、证明不等式时，经常用到放缩法.适当运用放缩法可使解题巧妙快捷.但使用放缩法的时机不易把握，需要根据题目条件、目标式的特点来选择恰当的放缩方法.以下例谈若干题型的放缩方法.

一、添舍项放缩

例1 设a、b、c∈(0,1)，求证a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1.

证明待证式子即a-ab+b-bc+c-ca<1,也即1-a-b-c+ab+bc+ca>0.

由已知可得abc>0,1-a>0,1-b>0,1-c>0,因此有(1-a)(1-b)(1-c)>0,展开后可得1-a-b-c+ab+bc+ca-abc>0.

注意到abc>0,即-abc<0,故由前式用放缩法可得1-a-b-c+ab+bc+ca>0.

从而原不等式得证.

二、用基本不等式放缩

例2 设实数x、y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是____.

解由题设式和目标式，建立起xy与x+y的关系式，再用基本不等式放缩得到关于x+y的不等式，即可解出x+y的范围.

将已知式配成(x+y)2-xy=1,

即xy=(x+y)2-1.

点评应熟练不等式的变形，如一串不等式

三、利用绝对值不等式放缩

例3 若关于x的不等式|x-1|+|x+2|

解要使|x-1|+|x+2|

而|x-1|+|x+2|=|1-x|+|x+2|≥|(1-x)+(x+2)|=3,取等号时有-2≤x≤1.故|x-1|+|x+2|的最小值是3，从而m>3.

点评应熟悉绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.在运用时，应设法凑出a±b是常数，并注意检验取等号的条件能否成立.

四、利用函数的单调性放缩

又a+b>0,则有f(a+b)>f(c),得

综合①和②得

点评要善于观察式子的特征，从而构造出相应的函数模型.

五、利用三角函数的有界性放缩

例5 设|x|≤1,求证(1-x)n+(1+x)n≤2n(n∈(N*).

点评应抓住三角换元的契机，如|x|≤a,a≤x≤b,x2+y2=r2,x2-y2=r2等.

六、利用二项式放缩

例6 设x∈N*,n>2,求证2n>2n+1.

证明由n>2，知n≥3.

又由2n=(1+1)n,联想到二项式定理.

=1+n+n+1

=2n+2>2n+1.

点评本例也可用数学归纳法来证明，但过程较烦.

[1]马运春，张超.放缩法应用举偶[J].中学生数学，2010(11)：19～21.

[2]洪丽敏.巧用“项”证明数列不等式[J].中学生数学，2010(2)：21～23.

[3]李生兵.均值不等式“四注意”[J].理科考试研究，2017(2)：31～32.

[4]陈红明.一类数列和不等式证法研究[J].数学通讯，2010(11、12)：22-23.

G632

A

1008-0333(2017)31-0043-02

2017-07-01

苑明昊，河北省邢台市第二中学，高三学生.

杨惠民]