三角变换的常用方法

饶子扬

(河北省唐山市第二中学 063000)

三角变换的常用方法

饶子扬

(河北省唐山市第二中学 063000)

三角题的形式多样，解题方法灵活多样.本文就三角解题中的常用方法——代换法，加以分类例析，供同学们参考.

三角解题；代换；方法

求解三角问题时，根据题目特点，常需要考虑选择恰当的方法，使式子简化，问题明朗，进而容易获解.本文就常用的变换分类举例加以说明，参考教科书是人教版课标数学4必修.

一、“1”的代换

利用常数代换1=sin2α+cos2α,1=tan45°等可把常数写成三角式，为利用三角公式解题带来便利.

二、平均值代换

三、对偶代换

在三角式中，我们称f(sinx)与f(cosx)互为对偶式，利用两个对偶式的和、差、积、平方和等，可简化式子.

例3 (教科书P138页B3题)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

解记A=sin250°+cos250°+sin20°cos50°,

构造对偶式B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.

四、字母代换

将某些三角函数式用一个字母表示，可以化复杂的三角式为代数式，明晰字母间的数量关系，回避复杂的三角公式的变换，从而优化解题.

例4 求sin54°-sin18°的值.

解记x=sin54°=cos36°,y=sin18°=cos72°.由cos72°=2cos236°-1,得y=2x2-1.又cos36°=1-2sin218°=1-2cos272°,故有x=1-2y2.

所以x+y=2(x2-y2)=2(x+y)(x-y).

五、三角代换

将题目中的三角式再进行三角代换，可简化原来的三角式，开辟新的解题思路.

六、整体代换

将待求的较复杂的式子设为一个字母，可简化表达形式，方便解题.

[1]陈京敖.一道课本例题的高考变式之路[J].中学数学，2014(2)：48-50.

[2]张建虎.用角代换解三角题[J].中学生数学，2010(11)上：17～18.

[3]张锐.一个问题的误解辨析[J].中学生数学，2010(12)上：42～43.

G632

A

1008-0333(2017)31-0037-02

2017-07-01

饶子扬，河北省唐山市第二中学，高二学生.

杨惠民]