轨迹思想在“直线与圆”中的巧用

鲁 锋

(江苏省平潮高级中学 226300)

轨迹思想在“直线与圆”中的巧用

鲁 锋

(江苏省平潮高级中学 226300)

阿波罗尼斯圆是圆定义中重要的一种形式，它所代表的轨迹问题是直线与圆考察的一种重要方向.本文在轨迹上作一些探索，以起到抛砖引玉的作用.

阿波罗尼斯圆；轨迹问题；存在性问题；任意性问题

例2 (南通市2014届高三第三次调研)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线y=k(x+1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 ．

评注本题直接撇开“P在直线y=k(x+1)上”这一限制因素，通过求在平面直角坐标系内符合条件的点P得其轨迹，再利用点P的两种属性化为直线与圆的位置关系，利用直线和圆位置关系“相交和相切”的条件，求出k的取值范围.

例3 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圆C2：(x-17)2+(y-30)2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是 ．

解析首先考虑平面内的点P，分两种情况：(1)点A在PB中间，则点P满足的条件是5

评注本题中利用图形可得出点P在平面内满足的要求是5

评注此题也是撇开限制条件，直接找出平面直角坐标系内满足条件的点的轨迹，再利用满足轨迹的方程具有统一性原则，通过待定系数法建立方程组从而得出定点.

例5 (2017盐城二模)如图所示，A,B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南边为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A,B,P可看着三个点)：1.垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与他们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；2.垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离尽可能大).现估测得A,B两个垃圾中转站每天集中的生活垃圾分别为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述条件？

解析可以以AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

通过上述例子可以发现，通过直接求轨迹可将曲线上“存在性或任意性”点的问题转化为轨迹交汇的问题.而解析几何中的轨迹问题，其本质也就是将“原有的存在或任意问题“化为“两轨迹交汇的问题”，通过对所涉及的轨迹几何图形和相关图形的观察思考，转化为轨迹公共点的问题，相比直接设点而化为函数问题，这种轨迹交汇的处理手法可以极大地将函数的思维活动和复杂问题变得简洁，极大地简化了学生处理存在和任意性类似问题的难度，同时也极好地培养了学生数形结合和化归转化的能力.

[1]单墫，等.普通高中课程标准实验教科书必修2[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0014-02

2017-07-01

鲁锋(1979.12-)，汉，本科，江苏省通州人,中教一级教师，从事解题方法、导数应用技巧等方面.

杨惠民]