抓住几何本质，避繁就简解题

温日明

(江西省信丰中学 341600)

抓住几何本质，避繁就简解题

温日明

(江西省信丰中学 341600)

通过比较常规解法和几何解法的优劣，说明抓住条件中的几何本质，利用数形结合解题的简洁性．

几何本质；避繁就简；解题

在学习数学的过程中，我们经常会遇到一些题目，常规方法求解比较繁琐，甚至做到中途做不下去，然而若换个角度，抓住条件中的几何本质，利用数形结合，往往会得到一些简洁解法，这是数学解题很重要的方法之一．下面试举几例，以飨读者．

例1 (2015江苏高考，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

简解易知直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过定点(2,-1)，

∴当点(2,-1)为切点时圆的半径最大，

∴半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2．

评析常规解法利用圆心到切线的距离等于半径，结合基本不等式求解，也行得通．简解抓住直线恒过定点，结合图形分析可知结果，简便易行．

例2 过圆O:x2+y2=2外一点A(3,1)引圆的两条切线，切点分别为T1,T2，则直线T1T2的方程为 ．

常规解法易知切线存在斜率，设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+1-3k=0，

∴切线方程分别为x-y-2=0或x+7y-10=0．

∴直线T1T2的方程为x+2y-3=0．

简解如图1，以A为圆心，AT1为半径作圆，由切线长相等知圆A过必点T2，故T1T2是圆O与圆A的公共弦．

∴圆A的方程为(x-3)2+(y-1)2=8，

又圆O的方程为x2+y2=2，

相减得直线T1T2的方程为x+2y-3=0．

评析常规解法采用先求切点坐标，进而求出切点所在直线方程的方法，运算量较大．简解抓住切线长相等，T1,T2均在以A为圆心，AT1为半径的圆上，利用两圆公共弦求解，大大减少了运算量．

例3 在直角坐标平面内，与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线l共有 条．

常规解法显然直线l存在斜率，设l的方程为y=kx+b，

∴直线l共有2条．

简解∵点A,B到l的距离分别为1，2，

∴l是以A为圆心，1为半径的圆和以B为圆心，2为半径的圆公切线，而圆A，圆B是相交的，∴直线l共有2条．

评析常规解法以计算为主，难点在于方程组求解繁琐．简解巧在思考，看出l是两圆的公切线．

例4 (2014江西高考，9)在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为

图2

简解如图2，∵A,B分别在x轴，y轴上，

∴OA⊥OB，

∴以AB为直径的圆C必过原点

O．又∵圆C与直线2x+y-4=0相切，

∴圆C直径的最小值为点O到直线2x+y-4=0的距离，

评析本题常规解法是设A,B的坐标，表示出圆C的半径，求出半径的最小值，从而求出面积的最小值，但求半径的最小值却很麻烦，许多学生因此半途而废．简解抓住圆C必过原点O这一特征，巧妙转化，简洁算出半径，可谓避繁就简．

[1]施富英．看透本质，巧思妙解[J]．中学数学研究(南昌)，2015(12)：38-39.

G632

A

1008-0333(2017)31-0013-02

2017-07-01

温日明(1976-)，男，江西信丰人，本科，中学高级教师，从事高中数学教育研究与初数研究.

杨惠民]