椭圆中的最值问题归纳

陈国林

(赣南师范大学科技学院 341000)

椭圆中的最值问题归纳

陈国林

(赣南师范大学科技学院 341000)

本文就椭圆中的几类最值问题加以归纳，并举例加以阐述.

椭圆；最值问题；例题

一、知识归纳

1.椭圆过中心的弦中，最长的为A1A2=2a，最短的为B1B2=2b.

3.椭圆中最大的焦半径为a+c，最小的焦半径为a-c；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c.

4.求一点与椭圆上一点的距离最值问题常用两点距离公式表示，消去x或y转化成二次函数求最值问题.求解时需注意自变量的取值范围.

5.在平面内，设P为一动点，M为定直线l外一定点，d为P到l的距离，d0为M到l的距离，则 |PM|+d的最小值为d0．

6.设A、B是直线l同侧两定点，且直线AB⊥l，点P为直线l上一动点，则∠APB有最大值．

7.设点P为椭圆上任一点，则cos∠F1PF2≥1-2e2，S△F1PF2的最大值为bc.

8.当直线l与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l的距离有最大(小)值的点.

方法1 设P(acosθ,bsinθ)，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值；

方法2 设与l平行的直线系l′——与椭圆方程联立消元——令Δ=0——得出与l平行的椭圆的两条切线l1、l2——求出l与l1、l与l2的距离即为所求．

9. 设P为平面内一动点，A、B为两定点，则

(1)|PA|+|PB|≥|AB| 当且仅当点P在线段AB上时取得最小值；

(2) -|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB| 当且仅当点P在线段AB(或BA)的延长线时取等号．

10.椭圆上点与一定点距离之和(差)的最值问题往往可用定义转化到另一焦点距离之差(和)进而求解.

二、例题分析

解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1+PF2=10，从而PM+PN的最小值为PF1+PF2-1-2=7.

解析设M(x1,y1),N(x2,y2)，△F2MN的内切圆半径为r，则

(1)求椭圆E的方程；

(2)当α变化时，讨论线段AD与BC长度之间的关系，并给出证明；

(3)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值及对应的α值．

解析(1)由已知，得b=c=1，所以a2=2．

(2)AD=BC．下面证明：

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，直线AB：x=my-1，则直线DC：x=my+1．

点F2到直线AB：x-my+1=0的距离是

结语椭圆中距离的最值问题一般会从这两点进行考查：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上).

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书( 数学选修2-1)[M]. 北京:人民教育出版社,2008.

G632

A

1008-0333(2017)31-0011-02

2017-07-01

陈国林(1994.12-)，男，安徽利辛人，从事数学教育研究.

杨惠民]