探讨高中数学中解三角形的非常规思路
2018-01-01冯厚发
冯厚发
摘 要：使用正弦、余弦定理实现边、角互化，是高中数学中解三角形的常规思路。但部分解三角形题目，也可采用非常规思路进行解答。因此，教学实践中，教师应注重传授解三角形的非常规思路，达到简化计算，提高解题效率的目的。
关键词：高中数学;解三角形;思路;探讨
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）20-053-1
不可否認，正、余弦定理是解三角形的重要知识点，可解答出较多的三角形问题。但其并不是解三角形的唯一方法，甚至用于部分题目解答中会增加解题难度，因此，教学实践中，教师应注重讲解相关例题，传授解三角形的非常规思路，进一步拓展学生思维，使学生能够灵活解答各种解三角形类的题目。
一、平面向量法解三角形
平面向量是高中数学的基础知识，常被用作解答平面、立体几何问题的工具。在一些解三角形题目中，使用正、余弦定理虽然能够解答出来，但计算较为繁琐，而使用平面向量进行求解，可大大简化计算过程，获得事半功倍的解题效果，因此，教学实践中，教师应注重引导学生尝试运用平面向量法解三角形。
例1 如图所示，在三角形ABC中，BC边上存在一点D，满足BD=2DC，其中∠BAC=π3，AB、AC的长分别为4、3，则AD的长是多少？
分析：该题目是解三角形的常规题型，学生并不陌生。使用正、余弦方法求解需要考虑两个问题：其一，解题过程中涉及两个三角形，列出的方程较多，而且计算量较大。其二，选择三角形时容易摇摆不定，浪费解题时间。而利用平面法，可有效避免上述问题，做到尽快解题，即，利用向量知识，使用AB、AC表示AD，不难得出：AD=13AB+23AC利用题干及向量数量积，将上式两边平方可得出AD=2193。
点评：使用向量法解三角形，虽能简化解题过程，但技巧性较强，如不能准确找到已知量与未知量间的向量关系，仍不能迅速解题，因此，为使学生熟练掌握这一解题思路，教学实践中，教师应引导学生多进行相关题型的训练，使学生能够准确找到已知量与未知量间的关系，巧妙利用向量知识进行求解。
二、数形结合法解三角形
数形结合法是解答数学试题的常用方法，将数转化至直观的图形中，通过分析图形便可得出结果，明显提高解题效率。部分解三角形试题采用常规方法，列出的数学式复杂，解答难度较大，部分学生甚至不知如何下手。考虑到三角形与圆有着密切的关系，因此，遇到解三角形题目时，可通过构造圆，利用数形结合法进行求解。
例2 已知三角形ABC中，AC的长为3，∠B=π3，△ABC面积的最大值是多少？
分析：该试题情景较为简单，部分学生思维定势，使用正弦、余弦定理、不等式等知识点进行求解，虽然能够求出结果，但花费时间较长，解题效率较低。教师可引导学生将该三角形放入圆中，通过简单分析便可得出结果。如图所示：
根据已知条件，不难求出圆的半径为1，利用圆的“等弦对等角”性质可知，点B在圆上运动均符合题干情景。显然当点B移动至最高点时，三角形ABC的面积达到最大，不难求出三角形ABC的最大面积S=34×（3）2=334。
点评：运用数形结合法解三角形题目时，常借助三角形的外接圆、内切圆求解。为保证解题正确性，教师应引导学生回顾初中学习的有关圆的知识，结合题干进行分析。同时，教师可推导出三角形各边与内切圆、外接圆半径关系的公式，在解题中方便学生直接应用。
三、解析几何法解三角形
解析几何法是一种将图形中的长度关系转化为单纯的代数，借助直角坐标系，对数进行计算实现解题的一种方法。利用解析几何法解答数学问题时，将图形中的关系通过坐标表示出来，只需进行计算即可。部分解三角形题目，运用解析几何法可避免运用正弦、余弦定理时繁琐的计算，提高解题正确率。
例3 已知三角形ABC，其中AB、BC、AC的长分别为3、13、4，求AC上的高。
分析：该题目难度不大，常规方法求解时仍需应用正、余弦定理，计算繁琐，出错率较高。根据题干中三角形各边长度，构建平面直角坐标系，进行简单计算便可得出结果。根据已知条件，在平面直角坐标系中画出三角形ABC（如图所示）。
可知A（0，0），B（4，0），设B（x，y）（y>0），以点A、点B为圆心，以AB、BC长为半径，看做两个圆，显然x2+y2=9，（x-4）2+y2=13，联立解得，x=32，y=332，即，AC上的高为332。
点评：利用解析解法解三角形，只需根据题干描述正确找到坐标，并合理设置未知参数，通过已知参数求出未知参数即可，整个解题思路清晰、明了，不容易出错，因此，教学实践中，教师应多讲解相关题目，提高学生应用解析几何法解三角形的意识。
总之，解三角形是高中数学的重点知识，是高考的必考内容，如何提高学生的解题效率，关系着学生的考试成绩，因此，教学实践中，教师除认真讲解正弦、余弦定理知识，使学生熟练掌握常规解题思路外，还应传授一些非常规解法。
