数形结合思想在数学中的应用

丁莉萍

摘 要：数形结合思想，是指将抽象的数学知识转化为图形特性，以加深学生对数学的理解和掌握。本文通过对我国初中数学教学现状进行深入探讨和剖析，并提出数形结合思想教学在初中数学教学中的意义，以供相关教育工作者有所借鉴。

关键词：数形结合;以形辅数;以数辅形;解决数学问题

中图分类号：G633.6          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2018）20-039-2

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分為数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等

本文主要是通过典型的例题，来阐述数形结合思想方法在各层面上的应用。每道例题，都很好地体现了数与形相结合的妙处，都说明了在教学过程中引导学生运用数形结合思想方法，可以培养学生的创新思维，可以锻炼他们的灵活运用能力。

一、数形结合思想在中学代数中的应用

代数是研究数量关系的。虽然数字化是很精确，但若能用图象表示出来，往往更直观，变化的趋势更明确。所以运用数形结合思想方法，能给抽象的数量关系以形象的几何直观，同样也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。

（一）函数与图象的问题

例1 函数值域的求法

1.转化为斜率型

函数f（x）=xx+1的最大值    。

解：原函数式可写成f（x）=x-0x-（-1），x∈[0，+∞）。故y可看成是连接P（x，x），Q（-1，0）两点直线的斜率。P点轨迹是抛物线x=y2。在直角坐标系中作出此抛物线的图像，即求抛物线上一点与点Q的连线的斜率的最大值。显然如图所示位置时，切点为（1，1）时，斜率最大为12。所以函数f（x）=xx+1的最大值为12。

2.转化为截距型

已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为    。

解：函数y=1-x+x+3的定义域为x∈[-3，1]。令t=1-x，t∈[0，4]，则函数y=1-x+x+3可变形为y=t+4-t。设P（t，4-t），令u=t，v=4-t，则P点轨迹是四分之一个圆u2+v2=4。而直线L的方程为u+v=y。圆与直线有公共点P。要求y的最大值和最小值，即求直线L：v=-u+y的截距的最值。

在直角坐标系中画出圆和直线L的图像，随着u，v的变化，我们发现y最大为22，最小为2.所以mM=22。

3.转化为距离型

求函数f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7的值域。

解：函数f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7可变形为

f（x）=2（（x-32）2+（0-32）2+（x-52）2+（0-32）2）。则f（x）可视为平面上点P（x，0）到两定点A（32，32）和B（52，32）的距离之和。在x轴上找一点P（x，0），作点A关于x轴的对称点A′（32，-32）。则f（x）=2（|PA|+|PB|）=2（|PA′|+|PB|）≥2|A′B|。又因为|A′B|=10，所以f（x）≥25，即f（x）∈[25，+∞）。

说明：在遇到求函数值域这类问题时，应根据函数的不同类型，选择不同的方法。以上介绍的三种方法是对于式子较复杂一点的函数而言，任一种都很形象直观。学生可通过观察图像，再结合数，将问题分析得彻底，理解得透彻。对培养学生的创新思维很有帮助。

运用数形结合思想方法不但可以比较大小、求函数值域，还可以判断函数单调性等等，在函数与图像这一方面，数形结合思想的运用很广泛，通过以数构型、以形构数来解决不同的函数问题，可以锻炼学生的解题能力，还可以培养学生的创新思维。

（二）方程与曲线的问题

例2 已知关于x方程（x2-4x+3）2=px，有4个不同的实根，求实数P的取值范围。

分析：这不是一个简单的方程，若通过化简移项再解题，有点麻烦。所以在这里，我们应运用数形结合的思想方法，那就简单明了了。

解：方程有4个实根相当于函数y=（x2-4x+3）2=|x2-4x+3|与函数y=px有4个交点。在同一直角坐标系上画出

这两个函数的图像。如图，

当函数y=px与x轴重合时，这两个函数有两个交点;当函数y=px与函数y=|x2-4x+3|相切时，这两个函数有3个交点。通过观察，我们知道函数y=px应介于以上两者之间。当这两个函数相切时，

y=-（x2-4x+3）y=pxx2+（p-4）x+3=0，

Δ=0p=4-23，4+23（舍去）。所以0<p<4-23。

说明：这是道解方程的题目，巧妙地运用到了函数图像，数与形的结合，轻易就解决了问题。这就要求学生的思维不能定势，不能一味地运用死方法，把它化成一元二次方程的形式，那样子很繁琐。所以学生要现学现用，灵活运用，锻炼自己的解题能力和思维能力。

总之，数形结合的思想方法的本质是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图象的处理发挥直观对抽象的支柱作用，通过对数与式的转换，使图形的特征及几何关系刻画得更加精细和准确，这样就可以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化。

二、数形结合思想在解析几何中的应用

解析几何本质就是将“数”与“形”有机的联系起来。通过“数”来研究“形”是解析几何教学的中心，有了数形结合的方法，可以凭几何直观，丰富想象，促使问题的解决。

例3 设x≥1，求坐标平面上两点A（x+1x，x-1x）和B（1，0）之间距离的最小值。

分析：这是求两点间距离的问题，可用两点间距离公式对其进行求解，但计算过程中涉及到开方，比较麻烦。若我们仔细观察点A的坐标的特点，不难发现两坐标的平方差是一常数：（x+1x）2-（x-1x）2=4，类似于双曲线方程x2-y2=4;于是联想到双曲线的图象，结合图形对问题进行求解。

解：X=x+1x，Y=x-1x，则有X2-Y2=4，（X≥2）。如图，作出函数X2-Y2=4的图像。显然，当点A（2，0）时，点B到点A的距离最小为1.

说明：这是一道以数想形的题目。在解代数问题时，根据数式的特点，提炼其蕴含的几何特征，以数想形或化数为形，则能依据形的性质和关系，直接而简明地使某些代数问题迅速获解。

综上所述，数形结合是解析几何学科的基本特征，坐标法是解析几何的基本方法。在解析几何教学中，要充分重视数与形的结合，引导学生由形思数，由数思形的思维模式，进行联想，从而揭示出问题的特征与本质。数与形的有机结合与转化，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，以便化难为易，解决问题。

[参考文献]

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