例谈不定式极限的一些解题技巧

丁嘉程

摘要：不定式极限的解法非常多，常用的方法有洛必达法则，等价无穷小，泰勒公式，重要极限，导数定义，迫敛定理等.此外，及时化简，变换与整理等技巧也有助于不定式极限的求解.本文通过9个具体的实例，来阐述这些方法在求解不定式极限的应用.

关键词：不定式极限；解题技巧；洛必达法则；等价无穷小；泰勒公式

在不定式极限求解问题中，除了洛必达法则，等价无穷小，泰勒公式，重要极限等常规方法，还可利用导数定义，迫敛定理，化简，变换与整理等技巧。例如视函数特征进行分子分母有理化或简单分离，分子分母同除以x的最高次幂，使用换元法，通分法等。本文通过9个具体的实例，合理运用这些技巧，来阐述这些方法技巧在求解不定式极限的应用。

【例1】求limx→+ 3x+1-3-x3x+3-x.（分子分母同除以3-x，再运用洛必达法则求解）。

解：原式=limx→+ 32x+1-132x+1=limx→+

【例2】求limx→0x-arcsinxx3.（运用洛必达法则后将分子有理化）。

解：原式=limx→01-11-x23x2=limx→0（1-x2）2-13x2·limx→011-x2limx→011-x2+1=-16.

【例3】求limx→1xx-1xlnx.（利用變量换元法）。

解：设t=xx-1，则xlnx=ln（t+1），所以原式=limx→1tln（1+t）=limx→1111+t=1.

【例4】求limx→1sin4（x2-1）x-1.（利用导数定义求解）。

解：设f（x）=sin4（x2-1），则f（1）=0，原式=limx→1f（x）-f（1）x-1=f′（1）=8.

【例5】求limx→+ [x]x.（利用迫敛定理求解）。

解：由x-1<[x]≤x，当x>0时，有1-1x<[x]x≤1。因为limx→+

1-1x=1，由迫敛定理，得limx→+ [x]x=1.

【例6】求limx→0ln（1+x2）secx-cosx.（结合等价无穷小和洛必达法则从而简化计算）。

解：limx→0ln（1+x2）secx-cosx=limx→0x2secx-cesx=limx→02xsecxtanx+sinx=limx→02x（cos2x+1）-1sinx

=limx→0xsinx·2cos2xcos2x+1=1.

【例7】求limx→0（cosx）1x2.（利用初等函数的连续性与洛必达法则进行计算）。

解：原式=limx→0e1x2lncosx=

elimx→01x2lncosx=

elimx→0-tanx2x=e-12.

【例8】求lim1+1n2n-13=1。

【例9】求limx→0（e3-1-x）2xsin3x的极限.（泰勒公式与等价无穷小量结合）。

解：当x→0时有sinx～x，又ex=1+x+x22+o（x2），

∴原式=limx→0x22+o（x2）2x·x2

=limx→0x44+x2o（x2）+[o（x2）]2x4

=limx→0x44+o（x4）+o（x4）x4

=limx→0[14+o（x4）x4]=14.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（上册）（第四版），高等教育出版社，2010.7.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析习题详解（上册）（第四版）.高等教育出版社，2010.7.endprint