浅谈化归思想在竞赛数学解题中的应用

2017-12-27李坤

考试周刊 2017年37期

李坤

摘要：数学竞赛试题具有综合性强、涉及面广、技巧性突出、解题方法灵活等特点。学生在面对数学竞赛题目无法利用已知的模型加以解决时，就需要学会考虑采用其他的解题策略。其中，化归思想就在寻求解题策略的过程中扮演了一个重要的角色，它将问题化繁为简、化生为熟、化曲为直、化未知为已知，同时也符合人类认知问题的基本规律。

关键词：化归思想；竞赛数学；解题策略

数学问题解决的过程，是实现转化的过程。化归思想是一切数学思想方法的核心，是解决数学问题广泛应用的思想方法之一。化归，是转化和归结的简称，是指将所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题B，再通过对问题B的求解，把结果作用于问题A，从而使问题A得解。匈牙利数学家路沙彼得说：“对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能解决的问题。”由此说明，化归思想的核心就是寻找将问题化繁为简、化生为熟、化曲为直、化未知为已知的解题策略。法国数学家笛卡尔利用化归思想，将几何问题化归为代数问题，创立了解析几何这门新学科，并且提出了化归思想是解决问题的“万能的方法”模式。

竞赛数学中，常见的利用化归思想解决问题的方法包括：换元法、数形结合法、构造法、参数法、直接转化法、等价转化法、特殊化方法、正难则反法、坐标法、类比法等。笔者将以其中几种方法为例，通过竞赛试题的分析和解答来体现化归思想在数学解题中的实用性。

问题：（2013年全国高中数学联赛江西省预赛）求函数f（x）=3x-6+3-x的值域。

利用常规的求值域方法：平方法、判别式法、单调性法等来解决此问题显得困难。波利亚在《怎样解题》中曾说：数学解题是命题的连续交换。解题的过程其实是对问题的不断转化。

方案1：运用换元法进行化归

分析：原函数可表示为f（x）=3·x-2+3-x，利用x-2与3-x的平方和为定值，采用换元法，将求原函数的值域问题化归为求三角函数的最值问题。

解：原函数可表示为：

f（x）=3·x-2+3-x，x∈2，3。

∵（x-2）2+（3-x）2=1，x∈[2，3]。

∴可设x-2=cosα，3-x=sinα，α∈0，π2，则

f（x）=3cosα+sinα=2sinα+π3。

∵0≤α≤π2，∴π3≤α+π3≤5π6，

∴12≤sinα+π3≤1，则1≤2sinα+π3≤2。