数形运用的心理定势

吕秋燕

摘要：本文指出了数形结合在高中数学中的重要性以及如何培养学生的数形运用的心理定势，并列出几类关于数形运用的典型例题。

关键词：数形结合；心理定势；具体化

数形结合的数学思想，在高中数学的学习过程中有着举足轻重的作用。观察近几年的高考试卷，不难发现，运用数形结合思想的题目所占比例不小，因此，培养学生数形运用的心理定势就成了数学教学重要的一部分。数形结合一般也会伴随着题目的转化，也就是在解题过程中，不断转化解题方向，从不同的角度、不同的侧面去探讨问题，最终利用数形结合解决题目。在利用数形结合思想时，首先需要学生把生疏的问题转化成熟悉的问题，把繁难的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体化的问题。在培养学生数形运用的心理定势过程中，要训练学生在看到一些固定类型的题目时，能立刻想到运用数形结合的思想去解决，这就需要教师平时就要引导学生总结归纳数形结合的问题类型。其中，培养学生数形运用的心理定势，最重要的是教师引导学生对数形结合类的题目要分类归纳总结的更加细致，而后多加训练，效果事半功倍。

一、 一类关于点的轨迹的问题

有些问题看着复杂，且题目之间看不出有什么明显的联系，但是，仔细分析题目会发现，他们有着意想不到的相似之处，并且可以用类似的方法去解决这类问题。把这类问题给学生分析透彻，那么在以后的学习过程中，遇到这种题目就会形成心理定势，进而快速而准确的解决这类问题。比如以下两个案例：

【例1】已知两点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在点P，使PA=12PB，求m的取值范围。

【例2】圆A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有兩个点到原点O的距离为3，求m的取值范围。

这里两道看似完全不同的两道题目，但存在着根本的联系。首先对各个题目分别具体分析如下：

分析例1：点P满足方程PA=12PB，由此可以得到点P的轨迹方程。设点P（x，y），由PA=12PB，得到（x-1）2+y2=14[（x-4）2+y2]，即x2+y2=4，记为圆C。由题目条件分析知道，点P既在直线x-y+m=0上，又在圆C上，所以原问题转化为直线与圆C位置关系的问题。显然，直线与圆有公共点则必相交，所以圆C的圆心C点到直线的距离d=|m|2≤2，所以m∈[-22，22]。

分析例2：类似例1，由题目分析，到原点距离为3的点轨迹方程即为圆B：x2+y2=9，由已知条件圆A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有两个点到原点O的距离为3，得到圆A与圆B有且只有两个交点。所以问题转化为两圆位置关系问题。两圆有两个交点，只需两圆心之间的距离d满足rB-rA

上面两个例题看似没有必然的联系，却暗藏玄机。题目中给的某些点都有自己的特殊的轨迹，比如例1中点P的轨迹是圆，例2中点到原点距离为3的点的轨迹也是圆，看到了这些本质以后，那么原来的问题就转化为两图形位置关系的问题了，原问题就迎刃而解。其实，这一类问题就是我们常说的“新瓶装陈酒”的问题，只要引导学生反复审题，仔细理解题目的意思，认真揣摩题目中每个条件所包含的熟悉因素，就一定可以转化为我们熟悉的问题，然后运用数形结合的思想方法解决问题。对于此类型的题目，让学生多加注意，平时的练习也能加强数形运用的心理定势。

二、 一类抽象代数问题

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学学习的基础。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其中的几何意义。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意的是一定要注意图形虽然是非常直观的，但是细微之处还是通过数体现出来的，所以一定要数形结合起来考虑问题。

上面两道例题，看似是两道没有交集的问题，但是都可以转化为线性规划问题，利用数形结合去解决，非常的简单易懂。数形结合的数学思想方法是数学中基本而又重要的思想方法，它也是解答数学题目的一种常用方法与技巧，特别是在解决填空题时，数形结合发挥着不可替代的功效。数学家华罗庚曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。”可见数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所以，在学生学习的过程中，教师要求学生随时注意运用数形结合思想，要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高学生的解题能力和速度，更加能够提高运用数形结合思想的能力。

三、 一类具有几何意义的问题

数形结合是一种常用的数学思想方法，一些题目中关于一些特殊数字的问题，也可以转化为图形特点的问题。同时，这也要求学生对基础知识要牢固掌握，对于一些定义形式的式子，一眼就能识别出来，并且理解他的几何意义，进而利用数形结合的思想快速并且准确无误的去解决问题。比如，学生看到下列问题，并对斜率公式记忆犹新，只要平时多加练习，在随后的学习过程中，会非常的简单易懂。

【例5】已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点，且点Q（-2，3），设M（m，n），求n-3m+2的最大值和最小值。

解：设k=n-3m+2表示点（m，n）与点（-2，3）连线的斜率，由题目知道，当该直线与圆C相切时，k=n-3m+2分别取得最大值和最小值，设过点（-2，3）与圆心相切的直线方程为y-3=k（x-2），即kx-y+2k+3=0。所以|4k-4|k2+1=22，所以k=2±2。所以，n-3m+2max=2+3，n-3m+2min=2-3。

在数形结合思想的运用过程中，首先要理解和掌握一些类型的题目中给的问题的几何意义，然后结合数形结合思想，画图分析问题，这样，整个问题的解决过程就非常的简单了。例5这种题目，只要熟记斜率的公式，就很容易画图分析什么样的情况满足题意。所以，教师在教学过程中，不仅要给学生灌输数形结合的思想，而且课后要求学生多加练习此类题目，加强培养，多鼓励学生运用数形结合，使学生对这类题目产生心理定势，在以后的学习过程中，再碰到此类题目，可以立刻反应过来如何去解决。

四、 一类零点问题

所谓函数的零点，其实就是函数图像与x轴交点的横坐标。运用数形结合的思想解决此类问题时，一定要强调“结合”一词。我国著名的数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非。”这充分地说明了数形结合的思想一定要注重结合的意义所在。所以，做这类题目时，要先计算导函数，以便知道原函数在定义域上的单调性，大致画出图像，最后不仅要通过图像直观估计，而且还要计算函数值，通过比较其大小进行判断参数的取值范圍。比如下面的例6：

【例6】若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-43。

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围。

分析：第（1）问很容易得到函数f（x）的解析式为f（x）=13x3-4x+4。第（2）问关于零点问题，这就要大致画出f（x）的图像，从而具体问题具体分析。具体过程：

f′（x）=x2-4，令f′（x）=0，得到x=±2。易判断，f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）单调递增，f（x）在（-2，2）上单调递减，且在x=±2处分别取得极小和极大值，

由函数f（x）的单调性和一些重要的函数值，可以大致画出f（x）的图像（省略），那么由图像分析知道，k∈-43，283。

由上面的例题6，我们可以看出，函数在某个区间上存在几个零点，即是方程在这个区间上有几个解，最终可以转化为两个函数在这个区间上有几个交点的问题。从上面例题可以看出，只要画出大致图像，再结合准确的函数值，就可以很容易找到参数的取值范围了。在给学生讲解时，一定要讲清楚数形完美的结合过程，让学生看到数形结合的直观性和准确性，这样学生才会对这类题目产生心理定势，遇到这类题目，数形结合的思想才是最好的。

数形结合的思想是把代数上的“数”与几何上的“形”相结合，利用其解决问题简单而快捷。关于数形结合的文章也是不胜枚举，但是，数形结合的思想方法虽然是一种常用的有效的方法，有些时候，老师提示之前学生想不到“数形结合”的解法，所以，这就要求教师在每次研究某一类关于数形结合的例题时，要与学生一起及时总结，及时强化训练，使学生对每类问题都能理解透彻，对此类问题解法产生一定的心理定势。比如以上几类例题都很典型，老师引导学生归纳总结，之后再让学生多加练习，培养学生数形运用的心理定势。当然，数形运用好处虽多，但是有些题目并不适用，这就更加要求教师要和学生一起归纳总结运用数形结合的每一种类型的题目，从而形成心理定势，为以后的数学学习奠定良好的基础。

参考文献：

[1]李建潮.一类三角求值问题的探[J].中学数学教学参考：上旬，2015，（1-2）：56-57.

[2]袁桂珍.数形结合思想方法及其运用[J].广西教育，2004，（15）.

[3]施献慧.数形结合思想在数学解题中的应用[J].云南教育，2003，（35）.endprint