浅谈高中数学数形结合解决向量模的最值问题
2017-12-27李秀梅��
李秀梅��
摘要：向量的模是平面向量的重要概念，体现了平面向量“数”与“形”双重性的重要特征。向量模的最值之问题是历年高考的热点，本文以一例最值问题探究常用的几种解题思路。同时要教育学生养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力；培养学生善于质疑的习惯；养成解后反思的习惯；养成做笔记的习惯等。
关键词：演算验算习惯；解题习惯；质疑习惯；反思习惯；做笔记习惯
中学数学学习是小学到高中甚至更高一级学校数学学习的关键期，我们要把握这个关键期，不断提高学习数学的效率，使学生获得终身学习的能力，促进学生的可持续发展，使学生终身受益。俗话说：“教育，就是培养习惯”。作为数学教师，培养学生怎样的学习习惯，直接影响数学教学质量的高低。在数学教学中，解题步骤是学生对题目深入思考的外在表现，是我们判断学生解题能力强弱的依据，解答过程是否完整，思路是否清晰都能反应出学生对某个知识点的掌握程度。因此我们在教学中应注意培养学生的学习习惯，更要注意学习方法的培养。本文结合高中数学教学案例，就数形结合解决向量模的最值问题谈几点做法和体会。
向量的模是平面向量的重要概念，体现了平面向量“数”与“形”双重性的重要特征。向量模的最值之问题是历年高考的热点，本文以一例最值问题探究常用的几种解题思路。
试题呈现：
若点A在圆C：（x-1）2+（y+2）2=4上运动，点B在y轴上运动，则对定点P（3，2）而言，|PA+PB|的最小值为（）.
A. 3B. 5
C. 25-1D. 25+1
解法1：坐标法求动点轨迹
设A（x1，y1），B（0，y2），则PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.
若设r=|PA+PB|，则由题意可得（x1-6）2+（y1+y2-4）2=r2.即，点A在以D（6，4-y2）为圆心，以r为半径的圆D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2上.
由圆C与圆D有公共点A可得r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，从而r≥3.
故，答案为A.
点评：本法中利用坐标法确定点A的轨迹方程D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2.
根据圆C与圆D有公共点A可得两两圆心距不大于两半径之和，所以有r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，从而r≥3.
解法2：利用模的坐标公式
设A（x1，y1），B（0，y2），则PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.
从而，|PA+PB|=（x1-6）2+（y1+y2-4）2≥（x1-6）2=6-x1≥3.
故，答案为A.
点评：本题方法与解法1的出發点相似，但该法是直接利用坐标代入模的计算公式，根据公式特点确定最值，这是模的最值中常用的基本方法之一。
解法3：三角代换
由点A在圆C上可设A（1+2cosθ，-2+2sinθ），B（0，t），
则PA+PB=（2cosθ-5，t+2sinθ-6）.
故|PA+PB|=（2cosθ-5）2+（t+2sinθ-6）2
≥（2cosθ-5）2=5-2cosθ≥3.故答案为A.
点评：点A坐标满足圆的方程（x-1）2+（y+2）2=4故可设点A的坐标为（1+2cosθ，-2+2sinθ）然后借鉴解法2中的思路，表示出|PA+PB|的三角形式，利用三角函数最值方法得解。
解法4：数形结合法
设Q为AB的中点，则PA+PB=2PQ，过P，Q，A作y轴的垂线，垂足分别为P′，Q′，A′.
由于|PP′|≤|PQ|+|QQ′|=|PQ|+12|AA′|≤|PQ|+32，
因此|PQ|≥|PP′|-32=32，即|PA+PB|=2|PQ|≥3.
故，答案为A.
点评：本法中借助三角形中线的性质，取AB中点Q，可得PA+PB=2PQ.
此题即转化为线段|PQ|的最值问题，过点P作y轴线，垂足为P′，由图可知P，Q，P′三点共线时取得最小值。
解法5：利用对称点转化为定直线上的点与圆上点距离的最小值问题
设B′为点B关于点P的对称点，则|PA+PB|=|PA-PB′|=|B′A|.
由于点B′在直线x=6上，点A在圆C：（x-1）2+（y+2）2=4上，可得|B′A|≥5-2=3.故答案为A.
点评：取点B关于点P的对称点B′，则点B′在定直线x=6上，
故|PA+PB|转化为直线x=6上与圆（x-1）2+（y+2）2=4上点的距离最小值问题，由图可知其最小值为圆心到直线x=6的距离减去半径可得。
以上方法看出解决向量模的最值问题的主要思路为“数”与“形”的结合，这是体现模的本质的基本思想，解题时应用坐标、轨迹等工具进行合理转化，即可求得最值。
参考文献：
[1]杨赫梁.浅谈如何提高数学课堂教学有效性[J].中学数学，2015（7）.
[2]夏钰钦.实现数学课堂教学有效性的五大要领[J].课程·教材·教法，2016（8）：38-42.
