不等式证明方法探讨
2017-12-27张雪梅��
张雪梅��
摘要:不等式在高等数学中有着极其广泛的应用,本文利用函数的单调性、微分中值定理、泰勒公式法对不等式的证明方法进行讨论,以期对本部分内容的证明提供一定的参考。
关键词:不等式;函数的单调性;中值定理
历来,不等式的證明问题在初等数学及高等数学知识点中都占据着一个非常重要的地位。不等式的证明方法有很多,如:分析法、归纳法、中值公式法、单调性法等等。下面我们介绍高等数学的知识从函数的单调性、微分中值定理、泰勒公式证明方法进行研究,并以例题加以巩固。
一、 利用函数单调性证明不等式
借助函数的单调性来证明不等式是一种很常用而且也非常有效的方法。
定理1:若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且在(a,b)内单调增加(减少)x∈(a,b),有f′(x)≥0(f′(x)≤0)。
定理2(严格单调的充分条件):若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且x∈(a,b),有f′(x)>0(f′(x)<0),则函数f(x)在(a,b)上严格单调增加(减少)。
例1证明:当x>4时,2x>x2。
证明:令f(x)=xln2-2lnx,则当x>4时,
f′(x)=ln2-2x>0
故由定理2知,f(x)在[4+
SymboleB@ )上严格单调增加,所以当x>4时,f(x)>f(4)=0,从而有xln2>2lnx,进而即得
2x>x2。
注:这道题先对原不等式进行了恒等变形,而不是直接设函数,其目的在于这样可以降低了证明过程中导数符号判定的难度。
例2证:当0
证明:令f(x)=sinx+tanx-2x,则
f′(x)=cosx+sec2x-2,f″(x)=-sinx+2sec2x·tanx=sinx(2cos3x-1),
当0
sinx+tanx>2x。
注:本例题运用了两次函数的单调性,因为一阶导数的符号难以直观判断,从而借用其二阶导数的符号得出f′(x)在[0,π2)上的单调性,进而就比较容易判断f′(x)的符号,得出结论。
例3设可导函数f(x),g(x)满足:|f′(x)| 分析:要证“f(x)-f(a)≤g(x)-g(a)”,只需证 f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),(x≥a) 问题是否可以转化为说明函数f(x)-g(x)的单调性呢,若是[f(x)-g(x)]′≤0,结论就自然成立了。 证明:令F(x)=f(x)-g(x),由条件|f′(x)| F′(x)=f′(x)-g′(x)≤0, 所以由定理1知,F(x)在[a,+ SymboleB@ )上单调减少,故而当x≥a时,有f(x)-g(x)≤f(a)-g(a), 即得f(x)-f(a)≤g(x)-g(a)。 二、 利用微分中值定理证明不等式 定理3(拉格朗日中值定理):若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。 例4证明:b-ab≤lnba≤b-aa,(0