借助几何直观 促进数学理解

【摘要】几何直观是指借助几何的形象关系来研究问题的方法，线段图便是解决百分数实际问题的几何直观之一。在数学教学中巧妙利用线段图，有助于学生表征问题的成分和结构，将抽象的数量关系转化为对数量关系的直接感知，以达到对数学问题结构性的理解。

【关键词】线段图；几何直观；数学理解

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）65-0068-02

【作者簡介】杨颖芳，江苏省无锡市玉祁中心小学（江苏无锡，214183）副校长，高级教师。

几何直观是指利用图形描述和分析问题的方法，“几何”二字应理解为研究工具，而“直观”是指研究问题的方式和手段。几何直观的研究对象不仅包括几何学范畴，还包括数量之间的关系。正如数学家徐利治先生指出的：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。作为一种几何直观，线段图是由几条线段组合在一起，用来表示实际问题中的数量关系，帮助人们分析题意，解答问题的一种平面图形。在数学学习中，学生可借助线段图来表征问题的成分和结构，将抽象的数量关系转化为对数量关系的直观感知，以达到对数学问题结构性的理解，从而促进问题的解决。几何直观理念对数学教学具有重要价值，教师要注意引导学生将抽象的数学问题与直观的线段图有机结合，帮助学生打开思维的大门。下面，笔者以“百分数实际问题”的教学为例，谈谈线段图的实践运用。

一、教材分析

苏教版六上“百分数”单元的例10、例11是两道稍复杂的实际问题，已知一个数的百分之几是多少，求这个数。教材是循着理解题意—分析数量关系—列方程解答—检验反思的线索编排的。为了帮助学生理解题意，教材先呈现不完整的线段图，引导学生根据题意把线段图填写完整，并初步感知题目中条件和问题之间的联系，这一过程让学生在符号语言（数）与图形语言（形）之间建立了联系。

二、教学实施

以例10的“理解题意”“分析数量关系”两个教学环节为例，下文呈现几何直观在这个环节的具体运用：

出示例10：马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，还剩48吨。这批粮食一共有多少吨？（学生自主读题后说说题中的已知条件和问题）

师：根据哪个条件可以找到单位“1”？是把哪个数量看作单位“1”？

生：根据“已经运走了60%”，把一批粮食的吨数看作单位“1”。

师：60%是已知量48吨相对应的百分率吗？（生说不对应）看来这道百分数实际问题比较复杂，光看文字叙述，你能马上求出这批粮食一共有多少吨吗？（大部分学生摇着头说有点困难）

师：面对这种复杂的百分数实际问题，同学们有什么建议？（学生不约而同地说可以画线段图） 师：这个线段图怎么画呢？（在师生对话中教师在黑板上呈现线段图，见图1）

由于学生已经具有解决简单分数、百分数实际问题时画线段图的经验，所以习惯于把分率或者百分率标在线段的下方，把具体的数量标在线段的上方，这样画有助于学生区分分率和具体的数量。

师：有了线段图，你愿意看着原来的文字思考，还是愿意看线段图思考？为什么？

生1：看线段图思考，线段图能把题中的意思都表达清楚，且非常简洁明了。

生2：从线段图上我一眼就看出已经运走的60%，是一批粮食的60%，48吨所对应的百分率应该是1-60%。

生3：看着线段图，我知道了“一共的粮食数-运走的粮食数=还剩的48吨”。

师：是啊，线段图将抽象的数学问题直观化了，借助线段图，变“看不见”为“看得见”了，数量关系一目了然。

对学生而言，纯文字形式呈现的复杂的百分数实际问题相对比较抽象，大部分学生很难直接看出题中的数量关系。此时，学生遇到困难，教师顺势引入线段图的解答方法。在具体教学环节中，出示例题后，教师并未直接指导学生马上画图，而是让学生真真切切地感受“这道百分数实际问题比较复杂，光看文字叙述，不能马上求出这批粮食一共有多少吨”，以此诱发学生画图的需要。待线段图完成后，教师启发学生思考“你愿意看着原来的文字思考，还是愿意看线段图思考？为什么？”学生自然而然就感受到“线段图能把题中的意思都表达清楚，非常简洁明了”“48吨所对应的百分率应该是1-60%”，进而明晰解题思路：一共的粮食数-运走的粮食数=还剩的48吨。在这一教学过程中，教师精选习题，巧设思维障碍，这样方可帮助学生充分体会线段图在描述数学问题、探寻解题思路等方面的价值和作用。

三、课后延伸

借助线段图来帮助学生理解抽象数量关系的方法不能仅在新课讲授上使用，更要在课后开展有针对性的训练，以增强学生主动使用线段图解决实际问题的意识，不断积累借助图形直观分析和解决问题的经验，感受几何直观在解决问题中的作用。其中教材的“练习17”“练习与测试”题组训练值得关注。

（1）一根绳子剪去20%，正好剪去3米。这根绳子原来长多少米？

（2）一根绳子剪去20%，还剩12米。这根绳子原来长多少米？

这两道题都是把一根绳子的长度看作单位“1”，题（1）中剪去的20%是3米对应的百分率，题（2）中20%却不是12米对应的百分率。下面是两位学生的解题情况：

练习中，当教师没有把画线段图作为解题的硬性规定时，学生通常都会出现上述两种情况，一种是“老师不作画图要求就不画图”，另一种是主动将数译成形。前者的解题质量通常非常低，这时教师不能简单认为这是因为学生粗心所致，而应该去充分关注“差错”背后的真正原因——他们在答题时并未理解抽象的文字叙述，不能理清数量之间的关系，从而导致机械模仿；而采用第二种方法的学生已经能够根据实际问题灵活画图，进而解决实际问题，他们已经进入良性循环的状态。

当然，线段图只是几何直观中的一种形式，几何直观在数学中无处不在，直观本身不是目的，而是手段。因此，教师在数学教学中应让学生借助直观，以实现由“表”及“里”的理解。