一个模型的运用

王 文

一个模型的运用

王 文

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立数学模型，再求出模型的解，即得到现实生活或具体情境的解，这就是数学建模的过程.学会构建、提炼数学模型，有利于形成模型思想，提高我们的解题能力，更有助于增强学习兴趣，提升应用意识.下面我们来看一个模型的提炼与应用.

苏科版《数学》九年级下册第150页的第12题：

甲、乙、丙3名学生各自随机选择到A、B 2个书店购书.

（1）求甲、乙2名学生在不同书店购书的概率；

（2）求甲、乙、丙3名学生在同一书店购书的概率.

【解析】因为每名学生可以到A、B两个书店购书，有两种等可能的情形，要求解的是甲、乙、丙3名学生的购书情形，说明事情需要经过3个步骤才能完成，因此必须通过树状图列举出所有可能的情形（如图1），再根据树状图来求相应情形下的概率.

图1

（1）从树状图中发现：所有等可能的情况有8种，其中甲、乙2名学生在不同书店购书共有（ABA），（ABB），（BAA），（BAB）这4种等可能情况，所以P（甲、乙2名学生在不同书店购书）=

（2）从树状图中发现：所有等可能的情况有8种，其中甲、乙、丙3名学生在同一书店购书共有（AAA），（BBB）这2种等可能情况，所以P（甲、乙、丙3名学生在同一书店购书）=

【反思】解决本题后，我们有这样一种感觉：这类问题与我们前面探究过的“抛掷三枚相同的硬币1次或抛掷一枚均匀的硬币3次，出现向上图案都相同的概率是多少”的解题模型完全相同.我们不妨回顾一下，将两种情况下的树状图（图1和图2）做一个对比，由此你可以发现解决这类问题的模型是相同的.

图2

【建模】如果一个事件一次只会出现2种等可能的结果，而且完成整个事件需要3步，则这样的计算概率问题都可以运用“抛掷三枚相同的硬币1次或抛掷一枚均匀的硬币3次，出现向上图案都相同的概率是多少”模型来求解，我们不妨称之为“抛硬币模型”.

【应用】例1 一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？

【解析】我们知道，一个婴儿的性别只有男、女两种情形，相当于硬币的正、反面，出生了3个婴儿相当于抛掷3次硬币，求3个婴儿中出现1个男婴、2个女婴的概率就相当于求硬币出现一正两反的概率，根据上述“抛硬币模型”，所有可能的情形有8种，其中1男2女的情况有3种，由此可知P（3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴）=

例2 交通信号灯俗称“红绿灯”，至今已有一百多年的历史了.“红灯停，绿灯行”是我们日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全.小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他不遇到红灯的概率是多少？他至少遇到一次红灯的概率是多少？

【解析】本题中，每过一个路口，只有两种可能性——遇到红灯或绿灯，且每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，即是等可能事件，又小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，因此本题与“抛硬币模型”完全相同，所有可能的情形有8种，其中不遇到红灯的概率就相当于同时抛出3枚硬币时三个反面都朝上的概率，即P（不遇到红灯）=，则P（至少遇到一次红灯）=-

例3 甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是_______.

【解析】本题中，每次出示的手势只有两种等可能情况——手心或手背，三个人同时各用一只手随机出示手心或手背相当于抛掷3次硬币随机出现正面与反面，因此本题与“抛硬币模型”完全相同，所有可能的情形有8种，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的可能情况有4种，所以P（通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球）=

由此可见，通过对问题的转化，我们可以将许多看上去不一样的问题归结为用同一个模型来解决的问题，让我们感受到模型思想的魅力.因此我们在学习中要重视对模型的提炼，寻找更多的数学模型，用以解决生活中的实际问题，不断提高自己构建模型、运用模型的能力.

运用上述模型解下列问题：

在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.

（1）请用树形图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；

（2）求选手A晋级的概率.

提示：评委出示的结果只有两种等可能的情形——通过或淘汰，确定选手是否晋级必须三位评委给出结果后才能确定，这与“抛硬币模型”完全相同.

江苏省兴化市板桥初级中学）