锐角三角函数中的不确定因素

雍艳梅

锐角三角函数中的不确定因素

雍艳梅

数学中的分类讨论就是根据数学现象的本质属性的相同点或者不同点，将数学对象划分为不同种类的一种数学思想.在解决数学问题时，如果问题不能以同一种方法处理，就需要按照某一确定的标准，在比较的基础上，然后进行分类讨论，再把这几条结论汇总，从而得出问题的答案.

锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与边之间的关系，在锐角三角函数的学习过程中，经常会遇到一些边、角、点、形等位置不明确的问题.这个时候就需要我们审清题意，分清情况，画出图形，分类型讨论，探索解决问题.应用分类讨论思想解决问题的关键是弄清何时分类、为何分类、如何分类.下面结合几个问题，和同学们一起体会分类讨论思想在解决三角函数问题中的应用.

一、由边的位置不确定产生的分类讨论

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，两边长分别为3和4，求sinA的值.

解：（1）若3和4为直角边长度：

①如图 1，当 BC=4，AC=3时，AB=5，则sinA的值为；

②如图 2，当 BC=3，AC=4时，AB=5，则sinA的值为.

图1

图2

（2）若3和4分别是直角边和斜边的长度：

④如图4，当AB=4，AC=3时，BC=7 ，则sinA的值为

图3

图4

【启示】当我们求锐角三角函数值的问题时，发现直角三角形中斜边和角的对边的位置未确定，这时需要分类讨论.

二、由角的位置不确定产生的分类讨论

例2 已知，在△ABC中，AB=5，BC=4，S△ABC=8，求tanC.

【分析】为了求tanC，根据正切的定义，需要构造直角三角形，故作高AD.可由BC=4，S△ABC=8，三角形的面积公式求出AD=4.再利用勾股定理求出BD的长，由于有∠B是锐角和∠B是钝角两种情况，因此本题需要根据角的不同位置，分类画出图形，分别求出CD的长，然后根据求出tanC的值.

解：（1）若∠ABC是锐角，作高AD，如图5，

图5

（2）若∠ABC是钝角，如图6，

图6

【启示】当我们遇到角的位置不确定时，常常需要分类讨论.根据角进行分类讨论，可分为角是锐角和钝角两种情况.

三、由点的位置不确定产生的分类讨论

【分析】认真审题可以发现，点D可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，依据题意画出两种情况下的图形，再将∠BCD构造在直角三角形中，依据锐角三角函数定义解决问题.

解：（1）如图7，当点D在线段AB上时，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，

图7

（2）如图8，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，

图8

【启示】当动点的位置不确定时，需要分类讨论.根据动点在线段上和在线段的延长线上分别画出图形，再构造直角三角形，借助勾股定理解决问题.

四、由形的位置不确定产生的分类讨论

例4 在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，求A点的坐标.

【分析】本题考查了三角函数与一次函数的综合运用，由于一次函数y=kx+b与x轴交点A的位置不确定，从而导致Rt△ABO图像位置不确定.因此应按形的位置分类讨论，即分△ABO在y轴左侧和右侧两种情况.分别画出图形，再依据条件tan∠ABO=3，构造直角三角形解决问题.

解：（1）当k＞0时，△ABO位置如图9所示，过P作PC⊥x轴，垂足为C，

图9

（2）当k＜0时，△ABO的位置如图10所示，过P作PC⊥x轴，垂足为C，

图10

解得AC=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

综上，A的坐标为（-2，0）或（4，0）.

【启示】当角所在的三角形位置不确定时，需要分类讨论，考虑k＞0和k＜0两种情况，通常作x轴或y轴的垂线来构造直角三角形，从而将点的坐标转换为线段的长，再综合利用知识，解决问题.

分类讨论，既是一种重要的数学思想，又是一种数学解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，使知识条理化，训练思维的严谨性.所以它既是思想又是方法，同时也是一种思维习惯.在应用分类讨论思想解决问题时，一定要明确何时、何类、为何分类，这样才能不重不漏，使复杂的问题得到清晰、完整、严密的完美解答.

小试牛刀

1.已知：在等边△ABC中，点P是直线BC上一点，且PC∶BC=1∶4，则tan∠APB=________.

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=_____ .

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江苏省宿迁市钟吾初级中学）