运用概率估计与决策

2017-12-25陈德前特级教师

初中生世界 2017年47期

陈德前（特级教师）

运用概率估计与决策

陈德前（特级教师）

我们知道，通过数据的收集与整理可以帮助我们进行决策.但数据的收集与整理费时费力，有时还有破坏性.此时，我们不妨请概率这个朋友来帮忙，进行估计，做出决策.

例1 （2017·兰州）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）.

A.20 B.24 C.28 D.30

【解析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，再根据概率公式计算n的值.根据题意得=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球，选D.

【点评】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个，或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率，再利用这个概率来解决有关问题.

例2 在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元.

图1

（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由.

【解析】（1）算出指针对准红色、黄色、绿色的概率，求出获购物券金额的平均数为50×

（2）通过比较做出选择，∵11.875元＞10元，∴选择转转盘.

例3 我市长途客运站每天6：30～7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同.小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序.两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车；而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况.若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：

（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？

（2）你认为选择哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？

【解析】（1）用列举法，三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差，优、差、中，中、优、差，中、差、优，差、优、中，差、中、优，共6种可能.

（2）用列举法求出不同乘车方案乘坐优等车的概率即可得到结论.根据三辆车开来的先后顺序，小张乘坐的车对应情况是：优，优，中，中，差，差；小王乘坐的车对应情况是：差，中，优，优，优，中.由此可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.所以选择小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.

例4 在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢毽子”游戏，毽子从一人传到另一人就记为踢一次.

（1）若从小丽开始，经过两次踢毽后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）

（2）若经过三次踢毽后，毽子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由.

【解析】（1）用树状图或列表法求概率.树状图如下：