网格线中的三角函数问题

韩成云

网格线中的三角函数问题

韩成云

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的.下面我们就网格线中锐角三角函数的问题来体会这种数学思想方法.

一、运用定义，以形助数

一些问题中的代数式，如方程或不等式，若以图形的形式直观地给出，问题的结果便可一目了然.

图1

图2

【方法探究】根据正切函数的意义，不难构造出满足条件的角α、β（如图1），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键.将图1中下面的图翻转到上图的下面，就形成了图2的图形，角α+β也就构成了.

【过程展示】如图2，连接BC，易证：△ABD≌△CBE，从而△ABC是等腰直角三角形，于是：α+β=45°.

例2 如图3，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.3

图3

图4

【方法探究1】如图4，∠APD不在直角三角形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正切值，借助网格线，连接BE，就可以构造直角三角形求解，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP∶CP=1∶3，即可得PF∶CF=PF∶BF=1∶2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值.

【过程展示1】如图4，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3，∴DP∶DF=1∶2，∴DP=PF=在Rt△PBF中，tan，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2.

故选：B.

【方法探究2】P点不在网格线的格点上，无法发挥网格线的作用，可以将∠APD转化为一个顶点在格点上的角，利用网格线构造平行，转化得到相等的角.通过勾股定理数形结合进而求出线段的长.

图5

【过程展示2】如图5，连接BE，AE.

∵DE∥BC，DE=BC，

∴四边形DEBC是平行四边形，

∴DC∥BE，∴∠ABE=∠APD.

由勾股定理得BE=2，AE=22，AB=10，

∵AB2=BE2+AE2，∴∠AEB=90°，

二、运用方程，以数解形

几何图形中的问题转化为用代数的知识求解，这就是数形结合思想中的“以数解形”，在几何计算与证明中常常采用这种方法.

例3 如图6，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin∠ABC的值.

【方法探究1】∠ABC不在直角三角形中，通过连接AC又不能得到直角，只有过点A作垂直，利用等积法，通过面积途径将几何问题代数化，从而求出垂线段的长.

图6

图7

【过程展示1】如图7，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，

【方法探究2】利用勾股定理构造方程进而求出线段的长度是比较常用的“以数解形”的手法.另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用.代数运算能力是学好数学的一个基本功，

【过程展示2】如图7，由勾股定理易得AB2=29，AC2=17，BC=25.

设BD为x，CD为25-x，由勾股定理得AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，

∴AB2-BD2=AC2-CD2，

【方法探究3】建立平面直角坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）.在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化.

【过程展示3】在原网格线基础上，再向右补一列，如图8，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接CD，并延长CD交BA的延长线于点E.

图8

借助网格线，易证△BOC≌△CFD，

∴∠BCO=∠CDF.

∵∠DCF+∠CDF=90°，

∴∠DCF+∠BCO=90°，∴∠BCD=90°.

由图可知B（0，2），A（5，4），C（4，0），D（6，4），可以求出直线AB的函数关系式为：y=x+

2，直线CD函数关系式为：y=2x-8，将两个函数关系式联立成一个二元一次方程组，可求E点坐标为，利用点C、B、E的坐标，由勾股定理可求得

三、综合问题，数形互助

【方法探究】如图9，借助网格构造∠CAD=β，∠BAD=α，则∠CAB=β-α，通过等面积法、勾股定理或者建立平面直角坐标系，从而把代数问题几何化，求出∠CAB的正弦值.本题中数与形得到了完美的统一.

图9

图10

【过程展示】图10中∠CAD=β，∠BAD=α，则∠CAB=β-α，过点B作BE⊥AC于点E，

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.

小试牛刀

1.△ABC在网格中的位置如右图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ）.

A.sinα=cosα B.tanC=2 C.sinβ=cosβ D.tanα=1

2.如下图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于则sin∠CAB=_______.

（关注公众号，回复“2017年12月数学”查答案）

江苏省宿迁市钟吾初级中学）