三角形与其内接相似三角形有关问题的研究

焦青云 郭要红

(安徽师范大学数学计算机科学学院 241000)

设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB边上的点，若△DEF∽△ABC，则称△DEF为△ABC的内接相似三角形.

文[1]给出了任意三角形与其内接三角形相似的一个充要条件，读后颇受启发，由此引发的、需要研究的问题是：三角形的内接相似三角形有多少个？三角形的内接相似三角形的周长与面积有无最大、最小值？本文研究这些问题.

1 任意三角形的内接相似三角形的个数

定理1任意三角形有无数个内接相似三角形.

任意三角形的内接相似三角形的画法，如图1.

图1

在△ABC中，分别过A，B点作BC，AC的平行线交于点M，将△ABM绕B点旋转(旋转后与△ABC不重合)得△A′BM′，旋转角度设为θ.连接M′C交AB于点F′，作F′D′∥BM′交BC于D′，D′E′∥A′B交A′C于E′.连接BE′并延长交AC于E点，作EF∥E′F′交AB于F，FD∥F′D′交BC于D，则△DEF为△ABC的内接相似三角形.

证明显然△BA′M′∽△BAM.

因为EF∥E′F′，FD∥F′D′，

所以∠D′F′E′=∠DFE，

从而∠E′D′F′=∠EDF，△DEF∽△D′E′F′，

于是△DEF∽△ABC.

旋转角θ不断变化，定理1得证.

2 三角形的内接相似三角形的周长、面积的最大、最小值

证明设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C对应边的边长，α，β，γ分别为∠A，∠B，∠C的角度，其中β≤α≤γ.P，S为△DEF的周长与面积，P′，S′为△D′E′F′的周长与面积.先讨论θ的取值范围.

显然θ的最小值为0，随着θ不断增大，当E′在AB上时，θ有最大值，此时内接相似三角形与原三角形的一组对应顶点共边.如图2，

θ=∠MBM′=∠MBN-∠M′BN

=∠MBN-∠F′D′B

=∠MBN-(∠E′F′D′-∠ABC)

=γ-(γ-β)=β

所以θ∈[0，β].

如图3建立平面直角坐标系.

图3

因为F′为lAB和lM′C的交点，于是

其中

T=bsin(α+β+θ)-tanβ(bcos(α+β+θ)-a).

并由正弦定理可得

P′ =|D′E′|+|D′F′|+|E′F′|

由yE′=|D′E′|sin(β+θ)，

+|D′E′|cos(β+θ)，

得

与lAC联立解得

其中H=csinβsin(α+θ)-csinγsinθ+

asinγsin(β+θ).

令H′≤0，解得θ≥0.

于是P与S在θ=0处取得最小值，在θ=β处取得最大值，代入得

定理2得证.