对数学问题2134的整理与探索

季潮丞

(浙江省宁波中学 315100)

《数学通报》2013年第7期第2134号数学问题引起广泛关注，其中安振平老师在他的博客[5]中对该问题有多种有别于本刊[1]的证明.特别罗列了张云华、熊昌进老师的独立证明.本人也学习了这些老师的解答，并参考了相应文献，有体会如下.

问题a,b,c是满足(a+b+c-2)2=2abc的任意实数，

证明设1-a=x,1-b=y,1-c=z，则原问题等价于

下面利用基本不等式和简单的分类就可以得到证明，详见[1]，[5].

笔者通过对上述问题的研究并了参考文献[2]，[3]，[4]，提出以下不等式：

已知x,y,z为非负实数，且满足x2+y2+z2+2xyz=1，

证明由原问题易知(1)成立；

由x2+y2+z2=1-2xyz及(1)知(3)成立；

由x2+y2+z2≥yz+zx+xy知不等式(4)要强于(2)，下面证明(4):

即

cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB

由室内考种表可见，使用免耕机械处理的产量明显高于对照，亩增产46.4kg。虫食率下降1.4个百分点，单株荚数增加9.5个，单株粒数增加15.2个，增产率为30.5%

不妨设A为最大角，则1-2cosA≥0,

事实上,运用琴生不等式易知

2cosBcosC=cos(B+C)+cos(B-C)

≤1-cosA.

所以(4)成立.

z2+2cosAcosBz+cos2A+cos2B-1=0.

解上述方程得

z=cos(π-A-B)或-cos(A-B),

由于z∈[0，1]所以z=cos(π-A-B)，在此我们设C=π-A-B.综上可知换元是等价的.

《数学通报》2013年第7期第2134号数学问题相关的内容还有很多丰富多彩的地方，作者限于篇幅无法详述，请读者参考文献[2]，[3]，[4].