教会学生思考比教给学生方法更重要

黄桂君

(江苏省高邮中学 225600)

读了贵刊2016年第6期《函数结构任繁杂 巧妙转化变通达》一文，很有收益，雷波老师善于将函数表达式通过巧妙的转化，使得复杂的问题得以化解从而轻松解决.

也很受启发：教给学生解题方法当然重要，然而更重要的是教会学生思考，即探寻从无到有或从有到优的思路，并能帮助学生理解数学本质.

关于原问题与转化的关系，笔者以为应该首先着力研究原始问题，遇到困难时，再考虑转化.

1 关于2015年新课标全国卷Ⅰ文科第21题

尽管可通过转化另解，如雷老师将其转化为两个比较简单的函数(法2)，最好其中有一个是常数函数(法3)的图像交点问题，回避了寻找自变量b使f′(b)<0的“难点”，但上述对原始问题的探寻、思考对学生来说还是很重要的.从简单开始思考，就显得自然(许多时候我们由于思维定势往往把问题想复杂了).

无独有偶，2016年还是新课标全国卷Ⅰ，第21题文(2)、理(1)都是同一个类似问题：已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点，求a的取值范围.

实际情况是这似乎是一个难点.在寻找函数的一个自变量b，使f(b)>0时，学生习惯具体数据，不习惯抽象的字母；习惯答案就是一个，不习惯灵活的探寻(多了反而找不到).这往往能反映出一个学生的数学学科素养，所以成为高考考查的重点.

如，2013年江苏高考第20题一片段：试求函数f(x)=lnx-ax(a<0)零点的个数，并证明你的结论.很多考生通过转化，简单的说因为函数y=lnx与y=ax(a<0)的图像只有一个交点，所以函数f(x)=lnx-ax(a<0)有一个零点(受平时老师教给方法的影响).这不能算作证明，也不知道怎么用数学语言表达(推理)，所以被扣了分喊冤.

而应该根据函数零点存在性定理论证：因为f(1)=-a>0，f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0，且函数f(x)图像在[ea,1]上不间断, 所以f(x)在(ea,1)上存在零点.

2016年江苏高考第19题同样对此进行了重复考查：“g(loga2)=aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0”，同前面考生不会尝试选取“ea”一样，还是有很多考生不习惯选取诸如“loga2”等自变量进行探索.

抛弃思维定势围绕核心又结合实际的做法，谁说不也是一种创新呢？

对于(2)：雷老师由于受到文章论点的限制，没有解析，只是说“只要突破了第(1)问，第(2)问则迎刃而解”.其实并非如此，通过如下透视同样能说明思想比方法更重要.

问题1求函数f(x)=ex(2x-1)-x的单调区间.(f′(x)=ex(2x+1)-1有一个零点x0=0)

问题3下面的证明过程中有问题吗？(投影一道试题局部学生的书面表达)

上述推理是不严谨的，特别是a取e2得g(e2)>0更是不可靠的.教学中甚至有许多数学优秀的学生觉得结论明显，没有必要找自变量验证！我就提出了一个问题：如果函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上递增，图像连续不间断，且f(1)<0，那么函数f(x)有几个零点？为什么？动手画图试试看，如f(x)在(1,+∞)上递增且穿过x轴，或不穿过x轴而以它为渐近线等.让他们懂得：重结果，也要重过程.讲推理，更要说道理.

问题4记问题3中两个零点为x1，x2，再设问：如证明x1x2>e.(改编的，过程略)

同样无独有偶，2016年新课标全国卷Ⅰ理科第21题(2)恰恰考的就是这样的问题：“设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2”.(过程略)

2 关于原文例2

我有个疑问：“务必实施分离”的道理是什么？要淡化技能技巧，重视通性通法(基本方法).其实可以从下面几个出发点引导学生去思考(说一点实施分离的缘由)：

常规思路1：即证明f(x)min>1，但是有困难，因为遇到了

至此可以感觉到，如果对于2015年新课标全国卷Ⅰ的导数解答题在训练中过于强调转化等方法，没有让学生练习思考到位，那么对2016年的类似问题有可能还是做不好，考不出.

教学中我们既要教给学生一些方法，更要注重教会学生思考，让学生思考探究一些他们的能力能够“够得着”的问题，培养学生的数学学科素养.