从一道高考真题谈函数导数压轴题的备考

龙正武

(人民教育出版社 100081 )

近些年来的全国高考数学试卷中，函数导数题往往作为最后一道压轴题出现，起到区分学生层次、选拔人才的作用，因此也深受广大一线师生的关注.另一方面，函数导数题的考查方式灵活，所蕴含的思维量比较大，因此即使解题工具众所周知，很多人仍然对函数导数题如何备考有无所适从的感觉.而且，同其他思想性较高的数学内容一样，对函数导数的内容，高中学生也同样是“一听就懂，一做就错，一讲就会，一考就乱”，他们最大的困惑是：好的解题思路是从哪里来的？也就是说，在面对“山重水复疑无路”的困境时，如何找到“柳暗花明又一村”的途径，是学生们最需解决的问题.

诚然，因为“对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，体现能力立意的命题原则”[1]，因此这类题的备考确实也是不容易的，但也不能说没有方法可循.下面笔者以广受讨论的2014年全国甲卷第21题为例来说明这一点.该题原题如下：

已知函数f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；

前面两问无疑是常规的，第(Ⅰ)问考查了平均值不等式，做第(Ⅱ)问的关键是使用整体代换和分类讨论，应该说只要基础足够好，完全是可以做出来的.

然而，如果对整个高中数学的知识都比较熟悉，计算能力又过关的话，试题分析所提到的思路和答案可以按照下述方式快速得到.

实际上，由第二问可得

g(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)，

而且

(1)当b≤2时，g(x)在(-∞,+∞)上递增，且x>0时，g(x)>0；

为了求出ln2的近似值，当然需要借助这些结论.那么，接下来该如何思考呢？

首先，求一个数的近似值，而且要满足给定的精度要求，这一方法在现行高中必修一的二分法中是有的，按照二分法求零点的想法，题目实际上需要找出两个值t1与t2，使之满足

t1

由此可知，可以通过g(x)>0或g(x)<0去得到想要的t1与t2.当然，在往下计算之前，我们要决定怎样才能让g(x)中出现ln2.由g(x)的表达式以及对数恒等式eln2=2不难想到，最直接的办法就是在g(x)中代入x=ln2，即利用

又因为估计的精度取决于

有了上述对解题思路的“抽丝剥茧”过程，就可以看出，用上述思路顺利做出第(Ⅲ)问的关键是：能够理解函数与不等式之间的深刻联系，能由二分法求函数零点精度的估计找到解题的大致思路，将题目给出的问题进行转化，能通过不等式的求解得到最终的答案.其中，最后的一条中涉及分类讨论以及大量的计算.从这个意义上来说，此题的解题思路其实是比较自然的，也无怪乎2017年的考试说明在点评此题时会提到：“试题是函数与导数的综合性问题，涉及复合函数的求导、基本不等式、对数函数、指数函数，是主干知识的有机融合，新而不偏、难而不怪，较好地考察了分类与整合思想、转化与化归思想和考生的推理论证能力、运算求解能力等，特别是第(Ⅲ)问体现了用简单对象研究复杂对象的基本方法.”[1]

而且，虽然这个题是2014年的高考题，但是即使按照2017年统一考试大纲数学学科中“能力要求”的“创新意识”标准来看，这个题也是非常好的.事实上，2017年统一考试大纲对“创新意识”的表述为：“能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.”[3]不难看出，上述对第(III)问的分析完全是综合与灵活应用所学数学知识、思想方法的结果.

那么，这些能够给我们教学上什么启示呢？在函数导数大题的备考这一方面，我们有什么样的“章法”可循呢？

1.分析以往试题特点，破解思维难点

毫无疑问，分析与研究以往高考试题是大家了解命题思路最好的也是最便捷的途径，这也是一线教师们经常采用的方法.

一般来说，试题的研究主要包括3个方面：一是研究试题的考查内容，具体包括问题类别的鉴定，问题所涉及的知识、方法、思想和能力的分析；二是研究求解问题的策略，包括解法思路及其由来、方法策略形成的过程；三是研究解法程序，包括解法步骤的确定、相关公式的选择、推演过程的优化.[4]

但这里笔者要补充的是，对于一线教师来说，试题的研究除了上述内容之外，还要格外注意思维难点的破解，要研究怎样才能启发学生想到解题的方法，也就是如何教的问题.实际上，这一任务比分析解题思路的由来更加重要，毕竟最后参加考试的是学生，让学生在尽可能短的时间内独立发现出解题思路、探索出解题途径，才是我们高三复习教学的核心目标所在.

不难看到，上述2014年高考第(Ⅲ)问的讲解，如果仅仅只是将答案呈现一遍，那么只会让学生有种在看“变魔术”、觉得数学“难”“深奥”的感觉，思考问题的方式上不会有什么太大的收获.但是，如果上课过程中，教师能与学生一起逐步进行探索和分析，破解解题过程中的难点，让学生完整经历一遍思路的形成过程，甚至再要他们去经历一遍精度值不理想的计算过程，那么学生的解题能力、计算能力等，一定都能得提高.而且，笔者认为，只有带领学生经历多次类似这样的过程，才能真正达到波利亚所提倡的“教会年轻人思考”[5]的目的.

2.高度重视高考能力要求中的创新意识

2004年高中课程标准实施以来，考察学生的能力一直是高考命题的原则之一[6][7].在空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识以及创新意识这七大能力中，创新意识无疑是要求比较高的，而且历年来导数的大题事实上都要求考生有较强的创新意识.例如，2016年全国I卷理科第21题的第(II)问，要求考生证明x1+x2<2，这同样需要提出新的问题，将问题进行转化才能完整地做出来.因此，如果要让学生充分做好导数压轴题的备考，培养学生的创新意识是必不可少的.

当然，复习备考过程中怎样培养学生的创新意识是一个值得研究的问题.但是，笔者认为，考试大纲已经给大家指明了途径：“创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的‘观察、猜测、抽象、概括、证明’，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.”[3]

这就是说，为了让学生具有较强的创新意识，在平常教学的过程中，要让学生充分经历观察—猜测—抽象—概括—证明的全过程，要让他们有发现问题和解决问题的经验，并在这个过程中，学会对数学知识进行迁移、组合.从具体途径上来讲，在日常复习教学中，要加大对学生探索的鼓励，让他们敢于尝试，尤其是要容许学生犯错误，从而培养学生的综合分析能力.这在实际的教学过程中，是最容易被忽视的问题.笔者曾多次在高中的数学课堂上看到这样的情形：有学生给出“方向不对”的解题思路时，教师为了赶进度，会不置可否，直接叫其他同学或者自己进行补充和纠正.这样的处理方式当然是不利于学生创新能力的培养的.仔细分析每一年的函数导数题，都可以发现，题中会出现问题的转化，解题方法的选择等，这就要求学生在审题和探索解题思路时，要有足够快的反应能力，尤其是在发现已有的思路行不通时，要知道从哪些方面去转换思路，提出新的问题，寻找突破的途径.笔者相信，如果平常学生有多次类似的解题经历，在考场上就不至于慌张，从而也就能想出创造性的解题办法来.当然，这样的经历如果是在老师的指导下进行的，无疑会是最理想的.

还需要注意的是，学生创新意识的养成，是离不开“基础”与“综合”这两个词的.目前，高考内容的改革中，强调要增强基础性和综合性.[8]围绕基础进行命题，无疑对一线高中数学的教学起到了很好的导向作用，使得一线教师教学的时候有了抓手.然而，现在的教学过程中也还是有值得注意的地方.例如，学生对基础知识的掌握往往停留在识记的层面，忽视其中所蕴含的思想、原理与方法.这样一来的一个后果就是，只有直接问到的东西才会回答，间接提到的内容就不能快速地联想.以上述涉及精度的估计来说，给定t2-t1≤0.001问区间[t1，t2]内值的精确程度，学生往往是知道的，但是反过来很多学生就想不到了.再例如，对基本方法的掌握，学生往往能够看得懂过程，但会忽视对为什么要这样进行思考.以分类讨论为例，绝大多数学生其实是不能迅速地得到前文中的(3)(4)两个结论的.当然，这也就意味着，在基本方法的教学过程中，要带领学生多问为什么，只有这样，才能真正提高学生的答题能力和得分能力.

总而言之，函数导数作为压轴题出现时，一定会是有难度的.而且，几乎可以肯定的是，函数导数题的最后一问，一定会涉及问题的转化，这就要求学生会发现和提出新问题，也就是创新意识要比较强才行.为此，高三教师在帮助学生进行函数导数备考时，要在学生创新意识培养方面多花时间和精力，要让学生在掌握基础知识和基本方法的基础上，有多次解题思路的分析与尝试的经历，使他们具有在考场产生顿悟的能力.这可以通过对历年高考函数导数真题的分析来完成.