强滤子在偏序集上的应用

刘志禹，姜广浩，唐照勇

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000)

强滤子在偏序集上的应用

刘志禹，姜广浩，唐照勇

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000)

本文在偏序集上引入并考察强滤子，给出偏序集上元素之间一种等价关系——连通关系，通过探究得到偏序集上真强滤子的一个内部刻画。

强虑子；连通关系；非连通偏序集；不交并偏序集

1 预备知识

定义1.1[1]设F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果对∀a∈F,x∈E,a≤x蕴含x∈F，称F是E的上集.

定义1.2[1]设F是偏序集(E,≤)的非空子集，如果对∀a∈F,x∈E,x≤a蕴含x∈F，称F是E的下集.

定义1.3[3]设F是偏序集(E,≤)的非空子集，若对∀a,b∈F,∃c∈F,使得c≤a,c≤b，称F是余定向的.

定义1.4[3]设I是偏序集(E,≤)的非空子集，如果I是余定向的，且为上集，称I是(E,≤)的滤子.

规定[1]设(E,≤)是偏序集，A是E的非空子集.令

易知↓A和↑A分别是E的下集和上集，且有A⊆↓A,A⊆↑A.

注1.1：文中用F⊂E表示集合F真包含于E.

2 强滤子与不交并偏序集

定义2.1[4]设F是偏序集(E,≤)的非空子集，若F既是上集又是下集，称F是E的强集；若真子集F是E的强集，称F是E的真强集.

定义2.2[4]设I为偏序集(E,≤)的子集，如果I是E的强集且是余定向的,即余定向强集，称I是偏序集(E,≤)的强滤子.

注2.1 易知，若I是偏序集(E,≤)的强滤子，则I是E的滤子.当强滤子I是偏序集(E,≤)的真子集时，则称I是E的真强滤子.

定义2.3[1]设(E1,≤1),(E2,≤2)是两个交为空的偏序集.构造集合E=E1∪E2.定义E上的一个二元关系≤：∀x,y∈E,x≤y⟺(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

3 偏序集上的连通关系

定义3.1 设(E,≤)是偏序集，a∈E.按以下步骤操作：(1)记I1a={a}；(2)记I2a=(↑I1a)∪(↓I1a)；(3)记I3a=(↑I2a)∪(↓I2a)；……；(n)记Ina=(↑In-1a)∪(↓In-1a)；……

如此无限进行下去，得到一由元素a生成的集列{Ina}(n=1,2,…).则称Ina为元素a的第n个步集，易知Ina⊆In+1a(n=1,2,…).

定义3.2 设(E,≤)是偏序集，a,b∈E.a产生的集列分别记为{Ina},{Jnb}.若存在正整数m，使得Ima∩Jmb≠∅，则称a和b在E上是连通的，简称a与b连通，记a～b.

定义3.3 设F是偏序集(E,≤)的非空子集.称F是E的连通子集,如果F中任意两个元素在E上都是连通的.否则称F为非连通子集.特别的，若E是连通的，则称偏序集(E,≤)是连通偏序集；若E是不连通的，则称偏序集(E,≤)是非连通偏序集.若不交并偏序集(E,≤)的分支Ei(i=1,2)是E的连通子集，则称为不可分分支；若分支Ei(i=1,2)是E的非连通子集，则称为可分分支.

定义3.4 记[a]E={x∈E|x～a}，称[a]E为a在E上的连通分支，简称E的连通分支.在不引起混乱的情况下，简记为[a].

利用连通关系的性质容易得到：

引理3.1 设(E,≤)是偏序集，a∈E，则连通分支[a]是E的连通子集.

引理3.2 设F是偏序集(E,≤)的非空子集，则F是E的连通分支当且仅当F既是强集又是连通子集.

推论3.1 偏序集的任一余定向子集必是连通子集.

证明 设(E,≤)是偏序集，F是E的余定向子集.令a,b∈F，则∃c∈F，使得c≤a,c≤b，由引理3.3可知a～b，即a与b连通，所以F是连通子集.

推论3.2 设(E,≤)为不交并偏序集，若分支F是余定向的，则F是不可分分支.

定理3.1 设F是非连通偏序集(E,≤)的非空子集，则F是余定向连通分支当且仅当F是真强滤子.

证明 (必要性) 设F是余定向连通分支，则F⊂E，否则E=F.由引理3.1可知E是连通偏序集，但这与题设条件矛盾.再由引理3.2必要性可知F是强集，且是真强集.又F是余定向的，故F是真强滤子.

(充分性) 设F是真强滤子，则F是余定向真强集.由引理3.3和推论3.1可知F是连通子集，所以F既是强集又是连通子集.再由引理3.2充分性可知F又是E的连通分支.

定理3.2 设(E,≤)是偏序集，若E中存在真强滤子，则E必是非连通偏序集.

综合可得

∀x,y∈E,x≤y⟺(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

①

定理3.3 设(E,≤)是偏序集.则以下条件等价：(1)E是不交并偏序集，且至少有一个分支是余定向的；(2)E中存在真强滤子；(3)E是非连通偏序集，且至少有一个连通分支是余定向的.

证明 (1)⟹(2) 设不交并偏序集E的两个分支为E1，E2，其中分支E1是余定向的.下证E1是真强集.假设a∈E1,x∈E,x≤a.由定义2.3可知，(x,a∈E1且x≤1a)或(x,a∈E2且x≤2a)，而a∈E1，所以x∈E1，这说明E1是下集.类似可证E1是上集，故E1是强集且是真强集.又E1是余定向的，所以E1是真强滤子.

(2)⟹(3) 设E1是E的真强滤子，由定理3.2可知E是非连通偏序集，再由定理3.1充分性可知E1是余定向连通分支.

(3)⟹(1) 设非连通偏序集E的连通分支E1是余定向的.记E1=[a],E2=EE1.由E是非连通偏序集可知，易知E2不空，且有E1∩E2=∅,E1∪E2=E.

一方面，显然Ei(i=1,2)对在E上的偏序关系≤构成子偏序集，记为(Ei,≤i).故有

x,y∈Ei,x≤iy⟹x,y∈E,x≤y.

∀x,y∈E,x≤y⟹(x,y∈E1且x≤1y)或(x,y∈E2且x≤2y).

[1]方捷.格论导引/现代数学基础[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]G Gierz,H Hofmann,K Keimel,et al.Continuous lattices and domains[M].Cambridge:Cambridge University Press, 2003.

[3]郑崇友,樊磊,崔宏斌.Frame与连续格[M].北京:首都师范大学出版社,2000.

[4]刘志禹，姜广浩，唐照勇.强滤子及其在有限偏序集上的应用[J].洛阳师范学院：自然科学版，2017,36(11)：16-18.

StrongFiltersonPosetandSomeApplications

LIU Zhi-yu, JIANG Guang-hao,TANG Zhao-yong

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000, China)

In this paper, strong filters on poset are introduced and examined. An equivalence relation between elements is given on poset—connecting relationship, and a series of exploration is carried out. In addition, an intrinsic characterizations of proper strong filter are obtained.

strong filter; connecting relation; disconnected poset; disjoin poset

O159.1

A

2095-7602(2017)12-0005-03

2017-06-04

安徽省高校省级自然科学重点项目“关于Domain理论与序拓扑空间理论中若干问题的研究”(KJ2013A236)；安徽省高校省级自然科学重点项目“模糊Domain理论中若干问题的研究”(KJ2017A378)；国家自然科学基金地区科学基金项目“Domain理论中拟C-空间与谱空间的刻画”(11361028)；淮北师范大学研究生创新基金项目“偏序集上的强集及其应用”(2017yjscx07)。

刘志禹(1991- )，男，硕士研究生，从事点集拓扑学研究。

姜广浩(1973- )，男，副教授，博士，从事一般拓扑学研究。