基于排队论的防空兵力部署优化模型*

赵鹏蛟，李建国

（北方自动控制技术研究所，太原 030006）

基于排队论的防空兵力部署优化模型*

赵鹏蛟，李建国

（北方自动控制技术研究所，太原 030006）

兵力部署优化问题是防空指控系统的重要研究内容之一。针对多型防空武器多层多区段混合部署问题，对异型空袭武器和防空武器基于作战效能标准化处理，基于排队论给出空袭武器的突防概率计算模型，将防空武器系统综合防御效能作为优化目标，建立多型防空武器扇形部署优化模型。仿真实验验证了优化模型的有效性和合理性，可为科学制定兵力部署方案提供参考。

兵力部署，优化，排队论，要地防空

0 引言

防空兵力部署是防空指控系统的一项重要研究内容，兵力部署优化是指在防空兵力满足一定约束条件下，构建合理优化的部署方案，使得防空武器系统的综合防御效能最大［1-2］。

随着作战样式的变化，防空要地和保卫目标会面临多种空袭武器的攻击，需将防空兵力部署在敌机来袭方向的多道防线上，形成一定的作战纵深和宽度。近年来许多学者在兵力部署优化建模和求解算法等方面开展了研究［3-5］，但主要针对单一防空武器单元部署问题，不符合实际应用需求。文献［6-8］针对多型防空武器多道防线部署问题，分别考虑扇形和环形防御样式，优化计算防空兵力的比例和数量，不足之处在于没有分析每道防线内各区段的部署情况，仅考虑防空兵力的覆盖能力，没有考虑对空袭目标的抗击效果。

本文同时考虑多道防线横向和纵向的防空兵力区分与配置，将要地周围区域划分为若干责任方向扇区，基于排队论描述来袭武器进入防线的过程而得到突防概率计算模型，将防空武器系统综合防御效能作为优化目标，建立多型防空武器扇形部署优化模型。仿真算例验证了所提优化模型的有效性和合理性。

1 问题描述

如图1所示，在要地周围地域根据地形等环境条件构筑两道防线的扇形防御，外围防线部署地空导弹以尽早发现并消灭敌空袭武器，内层防线部署高炮构筑高密度火力网打击漏网之敌，共同构成弹炮结合防御系统提高整体防御效能。同时该要地面积较大，可能面临多方向空袭，因此，将要地周围地域基于多道防线划分为若干责任方向扇区，将保卫该要地的防空兵力部署其中。两道防线的火力单元的配置间距通常应满足前后火力单元间接替射击的要求，给后方火力单元以必要的反应时间，部署在同一区段的各火力单元的最小配置间隔，应避免相互间电磁干扰及发射导弹时不危及友邻阵地的安全［9］。

根据战场态势分析，以及对敌以往作战数据的分析挖掘和敌作战规则的了解，对敌在突击中的空袭武器型号、来袭密度及突防路线进行预测，并结合己方作战资源和作战区域进行兵力部署。根据防空武器杀伤区大小，将外围防线划为H个区段，内层防线划为I个区段。J型空袭武器经防区协同突袭要地，假设所有空袭武器沿同一路线突防，敌空袭武器选择从外围防线第h个区段方向突防的概率为ph，经外围防线第h个区段方向突防成功后选择从内层防线第i个区段方向突防的概率为phi。我方共有R型地空导弹，其中第r型地空导弹的数量为n1r，部署在第h个区段的数量为n1rh；共有S型高炮，其中第s型高炮的数量为n2s，部署在第i个区段的数量为n2si。

2 模型建立

2.1 排队论模型

2.1.1 基本假设

1）进入防区的各型空袭武器都是泊松流，突防成功的目标流也视为泊松流；

2）地空导弹和高炮对空中目标的射击过程可以视为随机服务过程，射击时间都服从负指数分布，导弹系统和高炮系统的单个目标通道的火力密度分别为分别为地空导弹和高炮的平均射击时间；

3）对于地空导弹构筑的外围防线，目标在其杀伤区的逗留时间较长，且目标一旦飞出杀伤区即无法进行射击，故可以视为有限等待时间的随机服务系统，单位时间内没有被导弹射击而突防的平均敌方目标数为为空袭武器在地空导弹杀伤区的平均逗留（飞行）时间；对于高炮系统构筑的内层防线，由于杀伤区较小，进入杀伤区如未遭到射击即可视为突防，故可以视为损失制随机服务系统；

4）地空导弹和高炮对空中目标的射击服从先到先服务的原则。不考虑集火射击，即每个敌空袭武器只被一门防空火力射击，且只射击一次，若未摧毁不予继续射击。不考虑火力对抗，各火力单元工作可靠。

2.1.2 异型空袭武器和防空武器的标准化处理

空袭与反空袭作战中空袭方一般采用导弹、智能炸弹和轰炸机临空轰炸等方式对我方保卫目标实施打击，由于各种空袭武器的速度和其受到射击后毁伤的概率不尽相同，同时不同型号防空武器系统的目标通道数、杀伤区大小、火力密度和空袭武器的单次射击毁伤概率等表示防空武器射击能力的参数各不相同，混合配置下运用排队论进行拦截概率的分析计算有一定难度，故需首先将异型空袭武器标准化为具有相同作战性能的同型空袭武器，将异型防空武器标准化为具有相同作战性能的同型防空武器。通常选取主战型武器作为标准型武器，再将其他武器标准化为标准型武器，假设标准型武器为第1型武器。

空袭武器的等效，主要考虑在空袭武器被毁伤数相同的情况下防空火力目标通道的使用情况，等效原则为一批次的敌饱和攻击下单个标准型防空武器目标通道对标准型空袭武器的最大杀伤数与Zjx个标准型防空武器目标通道对第j型空袭武器的最大杀伤数相同，即

式（1）中，x为构筑的防线，1代表外围防线，2代表内层防线；tdjx1为第j型空袭武器在标准型防空武器杀伤区的平均逗留时间；μx1为标准型防空武器的单个目标通道的火力密度；Qjx1为标准型防空武器对第j型空袭武器的毁伤概率。

根据等效原则，一个第j型空袭武器可等效为Zjx个标准型空袭武器，

故飞临外围防线的J型空袭武器经标准化后的强度为

经外围防线第h区段突防成功后飞临内层防线的各型空袭武器经标准化后的强度为

标准型防空武器等效代替第k型防空武器的原则，就是在一批次的敌饱和攻击下第k型防空武器的全部目标通道与标准型防空武器的Lxk个目标通道在各自杀伤区内最大可能杀伤的等效标准型空袭武器数量相同［10］，即

式（5）中，Nxk为第k型防空武器的实际目标通道数；td1x1、td1xk为标准型空袭武器分别在标准型和第k型防空武器杀伤区的平均逗留时间；μx1、μxk为标准型和第k型防空武器单位目标通道的火力密度；Q1x1、Q1xk为标准型和第k型防空武器对敌标准型空袭武器的单次射击毁伤概率。

由式（5）可得，单套第r型地空导弹系统可等效为标准型地空导弹系统的目标通道数为

在兵力部署建模计算中，各型防空武器被部署到各个区段后，再针对每个区段中的各型防空武器进行标准化处理用于后续拦截概率计算。

则外围防线第h区段部署的等效标准型地空导弹的目标通道数为

高炮为单目标通道武器，同理可以推导出内层防线第i区段部署的等效标准型高炮数量为

2.1.3 基于排队论的目标突防概率

外围防线的地空导弹武器系统抗击目标来袭过程可视为有限等待时间随机服务系统，则空袭武器经外围防线第h区段未被射击的概率应用式（9）［11］计算

内层防线的高炮系统抗击过程可视为损失制随机服务系统，经外围防线第h区段突防成功的空袭武器再经内层防线第i区段未被射击的概率应用下式计算［12］为

经防区突防成功的空袭武器可分为在防区内未遭到射击突防和遭到射击但未被毁伤仍突防两部分，则空袭武器经外围防线第h区段突防成功的概率为

经外围防线第h区段突防成功的空袭武器再经内层防线第i区段未被射击的概率为

2.2 兵力部署优化模型

防空作战任务即最大概率地拦截敌空中目标，尽可能保卫我方要地安全。由于防空作战中敌突袭方向存在很大的不确定性，战前只能根据战场态势和敌以往作战规律等数据预测敌突袭方向，得到敌各个方向的来袭概率分布，无法在确定条件下进行防空兵力部署。因此，防空兵力最佳部署应是综合考虑各种可能来袭情况进行部署，根据来袭方向概率分布，做到重点方向重点部署，同时兼顾其他作战方向，这样的部署方案虽不能确保在每种突袭情况下都是最佳的部署，但构筑的防空体系达到了最大的综合防御效果。因此，应考虑各种来袭情况的概率及在该情况下部署的防空兵力的拦截概率，得到综合防御效能。假设防空系统的综合防御效能为U，则应该按照系统综合防御效能最大即敌方突防概率最小的原则进行兵力部署。根据敌进入各防区概率和基于排队论计算的敌通过各防区突防成功的概率，利用全概率公式可得敌突防该扇形区域的概率，从而得兵力部署优化模型如下：

3 算例分析

经战场侦察及预测，拟对某大型要地空袭的敌空袭武器类型、性能参数、来袭密度及其突袭方向如表1～表3所示。

表1 空袭武器数量参数表

表2 外围防线突袭方向的概率分布表

表3 内层防线突袭方向的概率分布表

保卫该要地的高炮和地空导弹系统的装备型号、数量和战术技术特点如表4、表5所示

表4 地空导弹系统数量参数表

表5 高炮系统数量参数表

根据要地周围地形条件扇形部署高炮和地空导弹构成内外两层防线，部署地空导弹系统的外围防线划分为2个区段，部署高炮系统的内层防线划分为3个区段，并将上述防空武器资源进行兵力区分与部署，合理配置到两道防线的各个区段中。利用遗传算法求解兵力部署优化模型，结果如表6、表7所示。

表6 地空导弹系统部署方案

表7 高炮系统部署方案

同时经计算得该部署方案的综合防御效能为0.74，即对多种情况下的多批次空袭目标的综合成功拦截概率为0.74。

该算例利用所建立的兵力部署优化模型并基于遗传算法优化求解，得到部署方案。从求解结果可以看出，该部署方案将保卫该大型要地的所属各型地空导弹和高炮系统分别部署在两道防线的各责任方向扇区内，同时在敌突防概率较大的路线上部署了相对较多的防空兵力，符合重点方向重点设防的防空兵力部署原则，加强了主要作战方向的部署兵力和火力密度，其他作战方向也有所兼顾进行了兵力部署，对各型防空武器合理区分了作战地域，构筑严密的防空体系从而使得综合各种突袭情况下的防空系统的综合防御效能达到最大，各武器型号混合部署充分利用现有武器资源提升了对敌空中目标的拦截概率。

4 结论

本文对野战防空中多型防空武器多层多区段混合部署问题进行了深入研究，将防空武器对敌方空袭武器的射击过程视为随机服务过程，根据空袭武器和防空武器性能特点建立了异型空袭武器和防空武器标准化准则以便计算。基于排队论模型分别得到各防线各区段防空系统的成功拦截概率，在预测敌来袭密度和来袭路线的基础上利用全概率公式得到防御区域的综合防御效能，并以此为优化目标建立了兵力部署方案的优化模型，仿真算例验证了该优化模型对指挥员防空战斗科学决策的重要指导意义。对各责任扇区内的诸多防空武器的具体部署位置及相互关系是下一步研究的重点。

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An Optimization Model for Air Defense Troops Deployment Based on Queuing Theory

ZHAO Peng-jiao，LI Jian-guo
（North Automatic Control Technology Institute，Taiyuan 030006，China）

Troops deployment optimization is a key problem of air defense command and control system.In this paper，the hybrid deployment of many types of air defense weapons in multiple lines and sections is considered.Firstly，different types of air attack weapons and air defense weapons are standardized based on combat effectiveness.Secondly，the calculation model of penetration probability of air attackers based on the queuing theory is given.Next，taking the defense effectiveness of air defense weapon system as the objective function，an optimization model of fan-shaped deployment of many types of air defense weapons is established.In the end，the simulation experiment shows that the optimization model is feasible and effective.It can provide reference for scientifically making the troops deployment plans in air defense combat.

troops deployment，optimization，queuing theory，key-point air defense

E91

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.11.09

1002-0640（2017）11-0038-05

2016-09-28

2016-11-15

国家自然科学基金资助项目（61603006）

赵鹏蛟（1992- ），男，山西太原人，硕士研究生。研究方向：防空辅助决策。