六自由度混联机构运动学分析

2017-12-18朱景原丁泽华曹浩峰

东华大学学报（自然科学版） 2017年5期

周辉，周睿，朱景原，丁泽华，曹浩峰，曹毅

(1.江南大学机械工程学院，无锡江苏 214122；2.上海交通大学系统控制与信息处理教育部重点实验室，上海 200240；3.江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡江苏 214122)

六自由度混联机构运动学分析

周辉1， 3，周睿1， 3，朱景原1， 3，丁泽华1， 3，曹浩峰1， 3，曹毅1， 2， 3

混联机构结合了并联机构和串联机构两者的优点，有效地扩大了机器人的应用范围.提出了一种由两个不同的三自由度并联机构串接而成的混联机构，对其进行运动学分析，分别求取上下两个并联模块的运动学正解方程，从而得到整个混联机构的运动学正解.通过给定机构结构参数和驱动输入参数，用一组算例求得运动学动平台位姿，并画出三维机构位姿状态图模型，更加直观地了解机构的位姿状态.然后求解其运动学逆解，按照运动学正解结果，给定机构的两组位姿，求得此时机构的驱动输入参数及各转动副的状态，对比正反解的结果，进而验证了双并联型混联机构运动学正反解模型的正确性.最后，在运动学分析的基础上，利用极限坐标搜索法，结合混联机构的运动学反解，给出机构工作空间求解的算法.给定机构的结构参数，考虑杆长约束、关节转动副约束及杆件干涉等影响条件下，利用数值搜索法在圆柱坐标系中搜索工作空间的边界.在Matlab软件中仿真得到混联机构在给定不同姿态下的位置工作空间和给定位置下的姿态工作空间.

混联机构；运动学；极限坐标搜索法；工作空间

混联机构结合了传统的串联机构和并联机构的优点，具有承载能力强、刚度大、精度高、工作空间大等优点，有效地扩大了机器人的应用领域[1-2].混联位置分析是机构分析中的基础问题，并联机构的位置分析具有反解简单、正解复杂的特点，而串联机构正好相反.两者综合起来，混联机构的位置正解和反解都变得极为复杂[3].

目前对于混联机构整体位置正反解的研究较少.Pisla等[4]研究了一种由PARAMIS机器人和一个新型串联定位模块组成的混联机构，并给出了数值解.Zeng等[5]研究了空间多回路运动支链的串并联型混联机构，提出了一种分析输出位移子集和空间多支链机构的自由度的方法.文献[6]提出了一种适用于重载操作的串并联锻造机械臂，根据机构的几何约束求得了封闭形式的运动学正反解.刘海涛等[7]研究了一类由二自由度球面并联机构和一条通过移动副与之串接的两转动一移动串联运动链组成的五自由度可重构混联机械手的设计和尺度综合问题.Lu等[8]提出了一种上端由3-RPS并联机构，下端由3-SPR并联机构串接起来的混联机构，分析了机构的位置正反解、速度、加速度、位置工作空间和姿态工作空间.

本文提出的混联机构由两个并联机构模块串接而成，每个并联模块由两条SPS六自由度的支链，由于其具有6个自由度，故只需对另外一条支链进行运动学分析即可.然后分析了机构的位置工作空间和姿态工作空间，对该混联机构的推广应用提供一定的理论基础.

1 混联机构的描述

混联机构由两个并联机构串联起来，每个并联机构都有3个自由度.如图1所示，位于混联机构下端部分的并联机构具有两条SPS支链和一条RPR支链，其中RPR支链3个运动副呈R1⊥P⊥R2.上面的并联机构具有两条SPS支链和一条RRR支链，其中RR支链的3个转动副相互垂直，呈R3⊥R4⊥R5. R2和R3的转动轴线相互垂直.下面并联机构模块的驱动是位于3条分支上的3个移动副，上面并联机构模块的驱动是两个位于分支上的移动副和另一条支链上中间的R4转动副.上下两个并联机构的动平台和静平台都是正三角形.

图1 混联机构结构图Fig.1 Structure diagram of the hybrid mechanism

1.1 自由度计算

正确分析计算机构自由度是机构结构分析的基础，是机构运动学分析的重要内容.机构自由度分析为确定机构驱动数目及进行运动学分析提供了依据.

位于底部的并联机构2SPS+RPR称为并联模块1，位于上端的并联机构2SPS+RRR称为并联模块2.整个混联机构总的构件数目n=15，包括一个静平台，一个动平台，一个中间平台.运动副有g= 18，包括8个球副S，5个移动副P，5个转动副R.由于SPS支链都可以绕着自身两端的球副旋转，所以每条SPS支链存在一个局部自由度[9]，因此ζ=4.运用计算空间机构自由度的Grübler-Kutzbach公式得到此混联机构的自由度[10]为

(1)

式中：fi为第i个运动副的自由度数；ν为并联冗余约速，这里不存在.

由式(1)可知，此双并联型混联机构具有6个自由度.

1.2 六自由度混联机构坐标系建立

混联机构附坐标系的机构简图如图2所示.R2和R5转动副的轴线分别垂直于支链A3B3和B3D3，它们分别与B3B2和D3D2重合.参考坐标系OXYZ以A3为原点置于静平台上，OX轴与A3A2共线，坐标原点O与A3点重合.坐标系O1X1Y1Z1的Z1轴附于支链A3B3上，坐标原点O1与A3点重合.O2X2Y2Z2附于中间平台上，O2X2轴与B3B2共线，坐标原点O2与B3点重合.R2和R3的转动轴线相互垂直.坐标系O3X3Y3Z3和坐标系O4X4Y4Z4分别固定在支链B3D3的两端，Z3轴和Z4轴与B3D3重合，坐标原点O3和O4分别与B3和D3点重合.O5X5Y5Z5位于上部并联机构的动平台上，O5X5的轴线即转动副的R5的轴线沿着D3D2方向，坐标原点O5与D3点重合.

图2 混联机构坐标系简图Fig.2 Schematic diagram of the hybrid mechanism of coordinate system

由机构的坐标关系可得相应的变换矩阵为

式中：si和ci(i=1， 2， 3， 4， 5)分别表示sinθi和cosθi，θi表示i个转动副的角度；L3=‖A3B3‖；L6=‖B3D3‖；Ai表示坐标系OiXiYiZi相对于坐标系Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1的变化(i=1， 2， 3， 4， 5).混联机构的变换矩阵可以写为

A=A1A2A3A4A5

(2)

2 混联机构位置正解分析

首先，给定驱动支链坐标系及驱动支链的长度为L1，L2，L3，L4，L5和驱动角度θ4，分别求取两个并联机构的运动学正解，然后再求整个混联机构的运动学正解.末端操作器的位置相对于参考坐标系可以写为

rp=(AM1AM2)5rp≡A5rp

(3)

式中:AM1=A1A2，AM2=A3A4A5分别为上下两个并联机构的齐次变换矩阵.AM1是描述中间动平台相对于参考坐标系的位置和姿态的齐次变换矩阵，AM2是描述上面并联机构动平台相对于坐标系O2X2Y2Z2的位置和姿态的齐次变换矩阵.5rp是动平台相对于坐标系O5X5Y5Z5的向量.

本文中左上标表示向量相对的坐标系，相对于参考坐标系OXYZ则没有上标.

2.1 并联模块1的位置正解

首先定义静平台和动平台上各端点关于各自坐标原点的向量，得到下面4个向量如式(4)～(7)所示.

OA1=(a1x，a1y， 0， 1)T

(4)

OA2=(a， 0， 0， 1)T

(5)

2O2B1=(b1x，b1y， 0， 1)T

(6)

2O2B2=(b， 0， 0， 1)T

(7)

位置向量OBi(i=1， 2)相对于参考坐标系可以写为

OBi=AM12O2Bi，i=1， 2

(8)

支链长度L1和L2(L1=A1B1，L2=A2B2)可以写为

Li=‖OBi-OAi‖，i=1， 2

(9)

式中： ‖·‖表示欧式范数.将其展开得到支链一和支链二的表达式为

(10)

(11)

化简式(10)和(11)可以得到下列带有未知角θ1和θ2的方程：

p1s1+p2c1=q1

(12)

f1s1+f2c1+f3s2+f4c2+f5s1s2+f6=0

(13)

式中：p1、p2、q1、f1、f2、f3、f4、f5、f6、L3的表达式为

由式(12)可以得到θ1的表达式.化简式(12)并用三角函数万能公式进行代换，得到θ1的解为

(14)

得到θ1解之后，整理式(13)就可以写为

p3s2+p4c2=q2

(15)

式中：p3=f3+f5s1；p4=f4；q2=-f1s1-f2c1-f6.

这样，式(15)就和式(12)保持相同的形式，使用相同的三角函数万能公式代换可求出θ2的解为

(16)

由于θ1的解有两个，所以p3，q2的解有两个，所以代入求θ2的解就有4种情况.得到θ1和θ2的解，把它们代入A1和A2中，就可以得到下端并联机构变换矩阵AM1的形式.这样就得到了下端并联机构的位置正解.下端并联模块正解有4组解.

2.2 并联模块2的位置正解

上端并联机构的位置正解可以通过和下部并联机构类似的求解方法得到.首先，得到以下向量：

2O2B1=(b1x，b1y， 0， 1)T

(17)

2O2B2=(b， 0， 0， 1)T

(18)

5O5D1=(d1x，d1y， 0， 1)T

(19)

5O5D2=(d， 0， 0， 1)T

(20)

位置向量O2Di(i=1， 2)相对于坐标系O2X2Y2Z2可以写成：

2O2Di=AM 25O5Di，i=1， 2

(21)

支链长度L4和L5(L4=B1D1，L5=B2D2)可以写为

Lj=‖2O2Di-2O2Bi‖，i=1， 2；j=4， 5

(22)

将式(17)、(18)和式(21)所得的2O2D1、2O2D2代入式(22)就可以得到：

(d1xs4+d1yc4c5-b1y)2+

[d1y(c3s5+c5s3s4)+L6c3-d1xc4s3]2

(23)

(24)

将式(23)和(24)展开，并化简可以得到下列两个有关于未知角θ3和θ5的方程为

v1s3+v2c3=q3

(25)

w1s3+w2c3+w3s5+w4c5+
w5s3s5+w6c3c5+w7=0

(26)

式中：

式(25)是一个关于θ3的表达式.化简式(25)并用三角函数万能公式进行代换，得到θ3的解为

(27)

得到θ3的解之后，就可以将式(26)写为

v3s5+v4c5=q4

(28)

式中：v3=w3+w5s3；v4=w4+w6c3；q4=-w1s3-w2c3-w7.

运用三角函数万能公式，同理就可以求出θ5的解为

(29)

由θ3和θ5的表达式可知，θ3和θ5都有两种表达形式，故θ3有两组解，而θ5表达式中的v3、v4和q4都是关于θ3的表达式，将不同的θ3值代入v3、v4和q4中，会得到两组不同的解，所以θ5也就有4组解.因此上部并联机构模块也有4种情形.

2.3 双并联型混联机构的位置正解

此六自由度混联机构的两个并联模块都有4种位置正解，这样每个并联模块都可以通过4种方式达到指定的位置.通过上述推导得到θ1，θ2，θ3和θ5的表达式，就可以求出整个六自由度混联机构的位置正解变化矩阵A.

(30)

式中：

nx=c4(c1c3-c2s1s3)+s1s2s4；

ny=c2s4+c4s2s3；

nz=c1s2s4-c4(c3s1+c1c2s3)；

ox=s5(c1s3+c2c3s1)-c5[s4(c1c3-c2s1s3)-c4s1s2]；

oy=c5(c2c4-s2s3s4)-c3s2s5；

oz=c5[s4(c3s1+c1c2s3)+c1c4s2)-s5(s1s3-c1c2c3)；

ax=s5[s4(c1c3-c2s1s3)-c4s1s2]+c5(c1s3+c2c3s1)；

ay=-s5(c2c4-s2s3s4)-c3c5s2；

az=-s5[s4(c3s1+c1c2s3)+c1c4s2]-c5(s1s3-c1c2c3)；

px=L3s1+L6(c1s3+c2c3s1)；

py=-L6c3s2；

pz=L3c1-L6(s1s3-c1c2c3).

(31)

对于矩阵A前三行三列表示混联机构末端执行器的姿态方程，式(31)为混联机构的位置方程.

2.4 运动学正解特性数值分析算例

根据六自由度混联机构的运动学位置正解，通过具体算例来验证此混联机构的位置正解.定义整个混联机构的结构尺寸参数并给定一组驱动构件的输入参数L1、L2、L3、L4、L5、θ4，根据运动学正解求解公式，采用数值法分别求出上下两个并联机构模块的位置正解的解析解.分别得到上端和下端并联机构模块静平台和动平台正三角形三个端点相对于世界坐标系的位置坐标，给出位姿的三维位姿图，更加直观地了解机构的位置和姿态.

给定整个混联机构的尺寸参数如下：上下两个并联机构模块的动平台和静平台都是正三角形，假定下面并联机构模块的静平台边长为0.5 m，动平台的边长为0.4 m.下端并联机构模块结构参数如表1所示.由于上端并联机构模块的静平台和下面并联机构模块的动平台重合，所以上面并联机构模块的静平台边长也为0.4 m，假定上面并联机构模块的动平台边长为0.3 m.上端并联机构模块的结构参数如表2所示.同时，上端并联机构模块的第三条支链长度给定L6=0.5 m.

表1 下端并联机构模块结构参数Table 1 Structure parameters of the lower parallel mechanism module mm

表2 上端并联机构模块结构参数Table 2 Structure parameters of the upper parallel mechanism module mm

给定六自由度混联机构运动输入如表3所示.

表3 混联机构运动输入Table 3 Input parameters of the hybrid mechanism

根据上述输入，就可以得到下端并联机构模块的各端点相对于参考坐标系的位置坐标数值，如表4所示.上端并联机构模块各端点相对于参考坐标系的位置坐标数值，如表5所示.

上述分析得到了上下两个并联机构模块动平台和静平台各端点相对于各自静平台的位置坐标.由于上端并联机构模块的静平台与下端并联机构模块的动平台重合，故将上端并联机构模块的静平台位置与下端并联机构模块的动平台位置保持一致.只需将上端并联机构模块静平台的3个点B1、B2、B3的坐标值乘以变换矩阵AM1，就可以得到B1、B2、B3在坐标系OXYZ下的值.同理，将上述求得的D1、D2、D3点的坐标值也需要相应地乘以变换矩阵AM1，就可以得到如表6所示的D1、D2、D3点在坐标系OXYZ下的值.

表4 下端并联机构模块正解位置坐标Table 4 Position coordinate with forward kinematics of the lower parallel mechanism module

表5 上端并联机构模块的正解位置坐标Table 5 Position coordinate with forward kinematics of the upper parallel mechanism module

表6 坐标系OXYZ下的各坐标点算例Table 6 Numerical examples of all points in the OXYZ coordinate system

对于整个六自由度混联机构，可以得到机构在此输入状态下的4种位姿情况，如图3所示.这4种不同解析解情况下的位姿与表6给出的解析解对应.由图4可以直观地看出，第四组数值解支链之间不会发生干涉，符合要求.

(a) 第一组解 (b) 第二组解

Fig.3Numericalexamplesofpositionandorientationofthehybridmechanism

3 混联机构位置逆解分析

在给定双并联型混联机构上平台的位姿参数，求整个机构输入关节的运动状态是运动学位姿反解问题.求此混联机构的位置反解，就是给定上端并联机构模块动平台上末端的位姿，求解6个驱动，即5个移动副Li(i=1， 2， …， 5)和1个转动副θ4.

3.1 双并联型混联机构的位置逆解

假定给定混联机构末端执行器的位姿用变换矩阵表示为

(32)

式中：px，py，pz表示固连在上端并联机构模块末端执行器上的坐标系O5X5Y5Z5原点O5的位置坐标.

由式(30)可以得到混联机构的位置向量可以写成p=(px，py，pz， 1)T，式中px，py，pz的值如式(31)所示.

(33)

代入展开可得：

(34)

令方程(34)左右两边的(1， 3)，(2， 3)，(3， 3)元素相等，可得：

axc5+oxs5=c1s3+s1c2c3

(35)

ayc5+oys5=-s2c3

(36)

azc5+ozs5=c1c2c3-s1s3

(37)

观察发现式(31)中py的表达式与式(36)表达式右边都有s2c3，所以把式(31)中py的表达式代入式(36)可以得到：

(38)

式中：q5=py/L6.

同理，将式(35)代入式(31)中px，式(37)代入式(31)中pz，可以得到：

L3s1=px-L6(axc5+oxs5)

(39)

L3c1=pz-L6(azc5+ozs5)

(40)

将式(39)和(40)左右两边同时取平方然后相加就可以得到驱动L3的表达式为

(41)

由于θ5有两组解，故L3也就有两组解.将L3的值代入式(39)和(40)中，从而可以得到θ1的表达式为

θ1=ATAN2(s1，c1)

(42)

(43)

由式(43)第二行第四列左右两边的元素相等可得：

pyc2-s2(L3-pxs1-pzc1)=0

(44)

从而可以得到θ2的表达式为

θ2=ATAN2[py， (L3-pxs1-pzc1)]

(45)

由θ2的表达式可知，θ2有两组解.将式(31)中px的表达式写成：

f1s3+f2c3=f3

(46)

由式(46)，并用三角函数万能公式就可以得到θ3的表达式为

(47)

由θ3的表达式可知，θ3有两组解.由式(43)所得的左右两个矩阵，令第一行第一列左右两边的元素与第二行第一列左右两边的元素分别相等可得：

c4=nx(c1c3-s1c2s3)+nys2s3-nz(s1c3+c1c2s3)

(48)

s4=nxs1s2+nyc2+nzc1s2

(49)

从而就可以得到θ4的表达式为

θ4=ATAN2(s4，c4)

(50)

由式(38)、(42)、(45)、(47)、(50)就得到了θi(i=1， 2， …， 5) 的值，由此可以写出所有的变换矩阵Ai(i=1， 2， …， 5)的表达式.从而可以写出移动副驱动的表达式为

Li=‖OBi-OAi‖，i=1， 2

(51)

Lj=‖ODi-OBi‖，i=1， 2；j=4， 5

(52)

式中：OBi=A1A22O2Bi；ODi=A5O5Di.

至此，推导得到了六自由度双并联型混联机构的运动学逆解.已知运动学输出位姿，就可以求解得到机构5个移动副输入L1、L2、L3、L4、L5和1个转动副输入θ4的解.由于θ5、θ2、θ3都有两组解，所以此混联机构具有8组解.

3.2 运动学逆解特性数值分析算例

根据双并联型混联机构的位姿逆解的分析，给定混联机构结构参数，然后给定动平台的位置与姿态参数.选取与之前正解算例相同的结构参数，并且以混联机构位置正解算例中得到的数值解作为反解的输入，从而实现双并联型混联机构位置正反解模型的相互验证.

给定混联机构的结构参数如表1和表2所示.由位置正解分析的三维模型位姿图3可知，位置正解的第四组数值解支链之间不会发生干涉，符合要求.所以取i=4时的结果，此双并联型混联机构的位姿变换矩阵为

将此时的位姿状态作为输入，代入双并联型混联机构运动学逆解求解公式中，利用Matlab软件求得各运动副的状态如表7所示.

对逆解所得的8组数据进行分析可以发现,第八组输入参数与位置正解算例中的第四组输入参数相同.在此将两组数据单独提炼出来进行比较分析，如表8所示.

表7 六自由度混联机构逆解数值解Table 7 Numerical examples of inverse kinematics of the 6-Dof hybrid mechanism

表8 六自由度混联机构正逆解输入数值解对比Table 8 Numerical solution comparison of forward and inverse solutions of the 6-Dof hybrid mechanism

经过比较之后发现，双并联型混联机构的两者之间存在微小误差，且误差可以忽略不计.

经过两组解的对比，发现用正解得到的双并联型混联机构末端位姿作为输入，求得的机构驱动输入参数与一开始求正解的输入参数相同，两者之间的误差微乎其微.验证了运动学正反解的正确性.

4 混联机构工作空间分析

4.1 限制工作空间的因素

工作空间分析在混联机构的分析中占有非常重要的地位[11].混联机构工作空间会受到很多因素的影响，机构整体尺寸的大小，移动副P行程的约束，转动副R转角(包括虎克铰U、球铰S)角度值的限制，机构中各杆件之间的干涉现象都会对其产生影响[12].机构在不同的限定条件下，其工作空间的形状和体积都会不一样[13].不同的机构根据不同的用途和应用场合会提出不一样的限制因素，每种因素的限制条件也不尽相同.在实际应用中，也会考虑成本因素提出不同的限制条件[14].

4.2 工作空间的算法描述

对本文混联机构的位置可达工作空间进行分析，运用运动学反解分析结果，结合极限边界数值搜索算法，求出其位置工作空间的形状.求解位置工作空间内所有点的算法如图4所示.给定合适的机构尺寸，通过圆柱坐标系逐个搜索，将Z坐标等分成n份，然后在每个Z坐标截面下，搜索边界轮廓，直到在整个Z坐标下都搜索完成后，所有的边界轮廓组合起来就是整个混联机构的工作空间边界图[15].

图4 工作空间算法流程图Fig.4 Workspace algorithm flow chart

运用Matlab数学软件采用上述的算法，结合混联机构的运动学反解和约束条件对工作空间的算法进行编程，求解了给定算例的工作空间.

4.3 工作空间算例仿真

给定机构参数与运动学算例保持一致.针对此双并联型六自由度混联机构，为了得到其位置工作空间，可以先将其末端固定在给定的姿态下，从而得到在此姿态下机构所能到达的所有满足约束条件的位置空间.

(a) (15°， 15°， 15°)

(b) (20°， 20°， 20°)

(d) (30°， 30°， 30°) 图5 不同姿态下的位置工作空间

Fig.5Positionworkspacewithdifferentorientation

由图5可知，改变机构的姿态角，就可以得到不同定姿态的位置工作空间.这4种姿态条件下得到的位置工作空间边界图大致是一个从上到下边界逐渐增大的近似拉长的连续锥形体.当姿态角达到(20°， 20°， 20°)时，机构的位置可达工作空间有一个凹洞，说明机构在此位置范围内存在奇异位形.

根据定姿态位置工作空间图可以看出该混联机构位置在(0， 0， 1.3)时，具有较为规则的位置工作空间边界，所以选择在此位置进行机构的姿态工作空间搜索，其得到的姿态工作空间是指与末端执行器固结在一起的坐标系在该位置所能实现的所有的姿态坐标的集合，如图6所示.

图6 (0， 0， 1.3)时姿态工作空间Fig.6 Orientation workspace with the position (0， 0， 1.3)

5 结论

(1) 本文介绍了双并联型六自由度混联机构的结构，求解了机构的自由度数目.指定机构驱动构件，通过分别对下端并联机构模块和上端并联机构模块的运动学正解分析，得到整个混联机构的运动学正解.通过给定机构结构参数和驱动输入参数，用一组算例求得运动学动平台位姿，并画出三维机构位姿模型.然后求解运动学逆解，按照运动学正解结果，给定机构的两组位姿，求得此时机构的驱动输入参数及各转动副的状态，对比正反解结果，进而验证了双并联型混联机构运动学正反解模型的正确性.

(2) 根据混联机构的运动学反解，利用极限边界搜索法给出机构工作空间的算法.给定机构的结构参数，考虑工作空间影响因素，利用数值搜索法在圆柱坐标系中搜索工作空间的边界.在Matlab软件中仿真得到了混联机构在给定不同姿态下的位置工作空间和给定位置下的姿态工作空间.

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KinematicAnalysisofa6-DoFHybridMechanism

ZHOUHui1， 3，ZHOURui1， 3，ZHUJingyuan1， 3，DINGZehua1， 3，CAOHaofeng1， 3，CAOYi1， 2， 3

(1. School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China；2. Key Laboratory of System Control and Information Processing， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China；3. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology， Wuxi 214122， China)

Hybrid mechanisms combine the advantages of parallel mechanisms and series mechanisms， which can effectively expand the application field of robot. A hybrid mechanism is presented, which is combined by two different 3-DoF parallel mechanisms connected in series. Through the analysis of the kinematics of the upper and lower parallel modules， the forward kinematics solution of the whole hybrid mechanism is obtained. A set of numerical examples of position and posture of the moving platform is obtained by given the structural parameters and driving parameters， meanwhile， the 3D models of the mechanism are obtained in order to more intuitive understanding of the mechanism. Then the inverse kinematics solution is solved. According to the forward kinematic results， a group of position and posture is given to obtain the driving input parameters of the mechanism and the state of each rotation pair， by compared with the result of the forward and inverse solutions， the correctness of the forward and inverse solution is verified. Finally， on the basis of kinematics analysis， using limit coordinate searching method， algorithm of working space is put out. Considering the length constraints， joint constraint and the interference of the member， the boundary of workspace is obtained in cylindrical coordinates by given the structural parameters. Position workspace respect to a variety of postures posture and orientation-workspace respect to a variety of positions are simulated in Matlab.

hybrid mechanism； kinematics； limit coordinate search method； workspace

1671-0444 (2017)05-0709-11

2016-06-17

国家自然科学基金资助项目(50905075)；机械系统与振动国家重点实验室开放课题资助项目(MSV201407)；江苏省食品先进制造装备技术重点实验室开放课题资助项目(FM-201402)

周辉(1973—)，女，河北秦皇岛人，讲师，硕士，研究方向为混联机器人机构学理论及机器人技术.E-mail：roboticscenter@qq.com

曹毅(联系人)，男，教授，E-mail：caoyi@jiangnan.edu.cn

TH 112

(责任编辑：杜佳)